大学自主招生数学试题
复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21
一、填空题（每题8分，共80分） 1．x8?1?(x4?2x?1)(x?ax242?1)，则a?_________．
2．已知5x?3?5x?4?7，则x的范围是___________． 3．椭圆
x21694．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有______种取法． 5．已知等比数列?an?中a1?3，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______．
?y2?1，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________．
6．x2?(a?1)x?a?0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是___________． 7．已知
(x?4)42?y29?1，则
35x24?y2935的最大值为____________． ??0的两解，则arctgx?arctgx8．设x1,x2是方程x2?xsin??cos12=__________．
9．z3?z的非零解是___________．
1?x10．y?21?x的值域是____________． 二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：log5(x?
2．已知sin(???)?
23．已知过两抛物线C1:x?1?(y?1)，C2:(y?1)2??4x?a?1的交点的各自的切线互相垂直，求a．
x?3)?1．
1213，sin(???)??45，且??0,??0,?????2，求tg2?．
4．若存在M，使任意t?D（D为函数f(x)的定义域），都有f(x)?M，则称函数f(x)有界．问
函数f(x)?
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1xsin1x在x?(0,)上是否有界？
21大学自主招生数学试题
5．求证：1?
123?133???1n3?3．
6．已知E为棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离．
7．比较log
8．已知数列?an?、?bn?满足an?1??an?2bn，且bn?1?6an?6bn，又a1?2，b1?4，
求 (1) an,bn；
(2) limanbn2425与log2526的大小并说明理由．
．
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大学自主招生数学试题
同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷
一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本
v(cm/s) 大题满分40分）
1．函数f(x)?log1(sinx?cosx)的单调递增区间是_______________．
20 22．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数v?v(t)的图象， 15 10 则该质点运动的总路程s=_____（厘米）．
3．设a与b是两条非相互垂直的异面直线，?与?分别是过直线a与b的 5 平面，有以下4个结论：(1)b//?,(2)b??，(3) ?//?，(4)???，
5 10 15 O t(s) 则其中不可能出现的结论的序号为__________．
4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位
为0.20米。若水位高度h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间t（单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_______________． 5．设?是第二象限角，sin???57?,则sin???2??=_____________________． 5?8?36．已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i,线段AB上的动点P对应复数Z，若复数z2对应点
Q,点Q坐标为(x,y),则点Q的轨迹方程为________________________． 7．设有正数a与b，满足a?b,若实数x1,y1,x2,y2,使x1?y1是a与b的算术平均数，x2y2是a与b的
几何平均数，则x1?y1(x2?y2)2的取值范围是_________________．
8．从0,1,2，?,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概
率是_______________（用分数给出答案）．
二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分） 9．（本题满分12分）试利用三角函数求函数f(x)?4?2x2?x1?x2的最大值与最小值．
10．（本题满分12分）求证：对于任何实数a与b，三个数：|a?b|,|a?b|,|1?a|中至少有一个不小于
11．（本题满分12分）设抛物线y?x?(2k?7)x?4k?12与直线y?x有两个不同的交点，且交点总
可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？
12．（本题满分12分）设四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA?面ABCD．
(1) 求证：直线PC?直线BD；(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥E?BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P?ABCD的高． P
2E 13．（本题满分12分）设有抛物线y?2px(p?0),点B是抛物线的焦点，点C
A D 在正x轴上，动点A在抛物线上，试问：点C在什么范围之内时?BAC是锐角？
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212．
B C
大学自主招生数学试题
上海交通大学2005年保送、推优生数学试题
一、填空题（每小题5分，共50分）
1441．方程x2?px?的两根满足x,xx?x?2?2，则p?_____(p?R)． ?0121222p41?2．sin8x?cos8x?,x?(0,)，则x?________________． 12821120043．已知n?Z，有(1?)n?1?(1?，则n?________． )n20044．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分 (如左图），将这6部分接于一个边长为62的正六边形上（如下图）， 若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为______． 5.22?42?62?82???(?1)n?1(2n)2=___________． 6.若z3?1,且z?C，则z3?2z2?2z?20?_______． 7.已知23?3?3x?则(x 3y，x,y?Q，,)y?____．
8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_______________． 9．4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为______，恰好只有一封装错的概率为_______． 10．已知等差数列{an}中，a3?a7?a11?a19?44，a5?a9?a16=______________． 二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）
1．x3?ax2?bx?c?0的三根分别为a,b,c,并且a,b,c,是不全为零的有理数，求a,b,c,的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；
若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．y?
4．已知月利率为?，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于?的函数
关系式（假设贷款时间为2年）．
5．对于数列{an}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?,即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t使得对于任意正整数n都
有an?r?[n?s]?t恒成立（[x]表示不超过x的最大整数）．
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ax?8x?bx?122的最大值为9，最小值为1，求实数a,b.
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