27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx?5经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
12
16???4??=0【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得{
?????=3??=?1解得{
??=?4
∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）； （2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′． ∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1 ∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx?5中，得0＝﹣4k?5，解得k=?5， ∴直线l解析式为y=?5x?5，
设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称， ∴OD＝OE ∵DE＝2EM
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12123
312
∴OM＝2OD，
过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R， ∴∠OFD＝∠ORM， ∵∠DOF＝∠MOR ∴△ODF∽△OMR ∴
????????
=
????????
=
????????
=2
∴OR＝2OF，RM＝2DF ∴M（﹣2m，2m2+8m） ∴2m2+8m=??（﹣2m）?
2
3
512， 5解得：m1＝﹣3，m2=?5， ∵m＜﹣2
∴m的值为：﹣3； （3）由（2）知：m＝﹣3，
∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3√2，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2＝AG2
∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°， ∴tan∠GAB=????=∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB=，
在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH=OE=√2，
过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点； ∵E（3，﹣3）， ∴∠EOT＝45° ∵∠EOH＝90° ∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
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????√23√2=3，
1
1
313
??=?3??+??=?32 则{，解得{
3???+??=?1
??=?
21
∴直线EH解析式为y=?2x?2，
?7?√73?7+√7313??=??=12??=?2???244解方程组{，得{，{， √73?5√73+52
??=????4????1=8??2=?87+√73√73?7∴点P的横坐标为：?4或．
4
13
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