第3节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
【选题明细表】 知识点、方法 二元一次不等式(组)表示的平面区域 线性目标函数的最值(或范围) 非线性目标函数的最值(或范围) 含参数的线性规划问题 线性规划的实际应用与综合应用 基础巩固(时间:30分钟)
题号 2,6,8 1,3,7 4,13 5,12 9,10,11 1.(2017·全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( A ) (A)-15 (B)-9 (C)1 (D)9
解析:先作出满足约束条件的平面区域.
因为z=2x+y,所以y=-2x+z,
向下平移,过A点时z最小,z=2×(-6)-3=-15.选A. 2.(2018·梅州模拟)在坐标平面内,不等式组( B )
所表示的平面区域的面积为
(A)2 (B) (C) (D)2
解析: 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得
A(,),B(3,4),C(1,0),D(-1,0),故S△ABC=×CD×(4-)=×2×=.
3.(2017·全国Ⅲ卷)设x,y满足约束条件
- 1 -
则z=x-y的取值范围是( B ) (A)[-3,0] (B)[-3,2] (C)[0,2] (D)[0,3]
解析: 作出可行域和直线l:y=x平移直线l,当过点M(2,0)时,zmax= 2-0=2,当过点N(0,3)时,zmin=0-3=-3,所以z的范围是[-3,2],故选B.
4.(2018·宜昌模拟)设实数x,y满足不等式组( B )
则ω=的取值范围是
(A)(-,1) (B)［-,1)
(C)(,1) (D)［,1)
解析:作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,由于可以看作直线的斜率形
式,于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A(-1,1)连线的斜率最大、最小问题.
如图,当直线过点B(1,0)时,斜率最小,此时ω==-;
当直线与x-y=0平行时,斜率最大,此时ω=1,但它与阴影区域无交点,取不到.故ω=的取
值范围是［-,1］.故选B.
5.(2018·上饶模拟)x,y满足约束条件
若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )
- 2 -
(A)或-1 (B)2或
(C)2或1 (D)2或-1
解析: 作出可行域(如图),为△ABC内部(含边界).由题设z=y-ax取得最大值的最优解不唯一
可知:线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合.由kAB=-1,kAC=2,kBC=可得a=-1或a=2或
a=,验证:a=-1或a=2时,成立;a=时,不成立.故选D.
6.(2018·泉州模拟)已知M,N是不等式组
所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是( B )
(A) (B) (C)3 (D)
解析: 由题意作出可行域,如图所示.当|MN|=|AC|或|MN|=|BD|时,|MN|能取得最大值.可求得
A点坐标为(,),B点坐标为(1,2),C点坐标为(1,1),D点坐标为(5,1),
所以|AC|=|BD|=
=
=.
=,
因为<,所以|MN|的最大值为.故选B.
7.(2018·浙江卷)若x,y满足约束条件
则z=x+3y的最小值是 ,最大值
- 3 -
是 .
解析:不等式组所表示的平面区域如图所示,当
时,z=x+3y取最大值,最大值为8.
时,z=x+3y取最小值,最小值为-2;当
答案:-2 8
8.(2018·台州模拟)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组一动点,则|OM|的最小值是 . 解析:不等式组表示的平面区域如图所示,
所表示的区域内
|OM|表示区域内的点到坐标原点的距离,其最小值为O到直线x+y-2=0的距离,
所以|OM|min=答案:
=.
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·宿州模拟)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( C ) (A)31 200元 (B)36 000元 (C)36 800元 (D)38 400元
解析:设租A型车x辆,B型车y辆,租金为z元,
则即
- 4 -
画出可行域(图中阴影区域中的整数点),
则目标函数z=1 600x+2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800元.
10.(2018·盐城模拟)已知集合
2
2
表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任
取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x+y≤2的概率为( D )
(A) (B) (C) (D)
2
2
解析:画出平面区域Ω,即△OAB的内部及边界,x+y≤2表示的区域为以原点O为圆心,半径为的圆的内部及边界,如图,
由
得A(4,-4).
由得B(,).
则|OA|=4,|OB|=,且∠AOB=,
于是S△OAB=×4×=.
而扇形的面积为×π×()=.
2
故所求的概率为P==.
- 5 -
11.设x,y满足约束条件则下列不等式恒成立的是( C )
(A)x≥3 (B)y≥4
(C)x+2y-8≥0 (D)2x-y+1≥0
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图象可知x≥2,y≥3,A,B错误;点(3,8)
在可行域内,但不满足2x-y+1≥0,D错误;设z=x+2y,y=-x+z,由图象可知当其经过点(2,3)时,z取得最小值8,故x+2y-8≥0.故选C.
12.(2018·亳州模拟)设不等式组所表示的平面区域为M,若函数y=k(x+1)+1的
图象经过区域M,则实数k的取值范围是( D ) (A)[3,5] (B)[-1,1]
(C)[-1,3] (D)［-,1］
解析:画出不 等式组所表示的平面区域M,如图中阴影部分所示,函数
y=k(x+1)+1的图象表示一条经过定点P(-1,1)的直线,当直线经 过区域M内的点A(0,2)时斜
率最大,为1,当直线经过区域M内的点B(1,0)时斜率最小,为-,故实数k的取值范围是［-,1］,故选D.
13.(2018·赣州模拟)若x,y满足|x|+|y|≤1,则z=的取值范围是 .
解析:|x|+|y|≤1表示的平面区域如图,由z=
=,及斜率公式可知,其几何意义是平面
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区域内的点(x,y)与点(3,0)所在直线的斜率,由图可知,zmin=kAP=-,zmax=kBP=,故z的取值范围
是［-,］.
答案:［-,］
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