4圆锥曲线定点、定值问题

（II）记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1?k2是定值吗？证明你的结

论。

m解： （Ⅰ）?l与圆相切,?1? ?m2?1?k2 ………… ①

1?k2由?y?kx?m(1?k2)x2?2mkx?(m2?1)?0,

??x2?y2?1 , 得 ??2??1?k?0????4m2k2?4(1?k2)(m2?1)?4(m2?1?k2)?8?0 , ??m2?1??x1?x2?k2?1?0?k2?1,??1?k?1,故k的取值范围为(?1,1).

由于x2mk2221?x2?1?k2?x2?x1?(x1?x2)?4x1x2?，

1?k2?221?k2?0?k2?1 ?当k2?0时，x2?x1取最小值22.

（Ⅱ）由已知可得A1,A2的坐标分别为(?1,0),(1,0)， ?k121?yx2?y1?1,kx2?1，

?k1?k2)2?y1y(x?(kx1?m)(kx2?m1?1)(x2?1)(x

1?1)(x2?1)22mkk2x?x2k2?m?1??m21x2?mk(x12)?mk2?1?mkk2??1x

1x2?(x2?x?1)?1m2?122k2?1?k2?1?1222222222?mk?k?2mk?mk?mm2m2?1?22?k2?1?k?m2?k2，

?2?22

由①，得 m2?k2?1， ?k1?k2??13?22??(3?22)为定值.

37．（2011·湖北重点中学二联）已知点P(x0,y0)是椭圆E:x0x2x22?y?1上任意一点x0y0?1，

2直线l的方程为

?y0y?1

（I）判断直线l与椭圆E交点的个数；

（II）直线l0过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒

过一定点G，求点G的坐标。

?x22?y?122?x0?2y02?22解：（1）由?消去y并整理得x?x0x?1?y0?0

4?x0x?yy?10??2?x022?y0?1，?y0?222?x022?x?2x0x?x0?0 ???4x0?4x0?0

2222故直线l与椭圆E只有一个交点

（2）直线l0的方程为x0(y?y0)?2y0(x?x0)即2y0x?x0y?x0y0?0 设M(?1,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m,n)

32?2x0?3x0?4x0?4x0?n?m?2?m?1??2yx?4??00则? 解得? 432?n?2x0?4x0?4x0?8x0?2y?m?1?x0n?xy?00002??2y0(4?x0)?22?? 直线PN的斜率为k?n?y0m?x0?x0?4x0?2x0?8x0?82y0(?x0?3x0?4)3232432

从而直线PN的方程为y?y0?2y0(?x0?3x0?4)32x0?4x0?2x0?8x0?82y0(?x0?3x0?4)324(x?x0)

即x?x0?4x0?2x0?8x0?8432y?1从而直线PN恒过定点G(1,0)

xa2253．（2011·金华十二校一联）已知椭圆?yb22?1(a?b?0)的两个焦点分别为

?F1(?1,0),F2(1,0)，点P在椭圆上，且满足PF1?2PF2,?PF1F2?30，直线y?kx?m与圆x2?y2?65相切，与椭圆相交于A,B两点．

（I）求椭圆的方程；

（II）证明?AOB为定值（O为坐标原点）．

解：（I）由题意，PF1?2PF2,?PF1F2?30,F1F2?2，

解三角形得PF1?2PF2?433?，由椭圆定义得2a?PF1?PF2?23，

x2

从而a?3,又c?1，则b?2，所以椭圆的方程为

3?y22?1 （6分）

（II）设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?kx?m?联立?x2y2消去y得(2?3k2)x2?6kmx?3m2?6?0

??1??32

由韦达定理得x1?x2??6km2?3k222,x1?x2?3m?62?3k22 （9分）

又直线y?kx?m与圆x?y?65相切，

则有m1?k2?65?5m?6?6k （11分）

2222从而x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(k?1)x1x2?km(x1?x2)?m

?km?m?2222?3k2?3k2?3k?????????所以OA?OB?0，即?AOB?90为定值．

xa22?(k?1)23m?62?6km2m(5m?6k?6)222?0

73. （2011苏北四市二调）如图，椭圆

?yb223?1(a?b?0)过点P(1,)，其左、右焦点分

2别为F1,F2，离心率e?（1）求椭圆的方程； （2）求MN的最小值；

12??????????M,N，是椭圆右准线上的两个动点，且F1M?F2N?0．

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？ 请证明你的结论．

解：（1）?e?ca?12，且过点P(1,)，

239?1??1,2?a24b? 解得??a?2c,?a2?b2?c2,??x2??a?2, ?椭圆方程为???b?3,M y 4?y23?1。

F1 O F2 x (2)设点

M(4,y1),N(4,y2) 则

N ??????????F1M?(5,y1),F2N?(3,y2),??????????F1M?F2N?15?y1y2?0，

（第18题） ?y1y2??15， 又?MN?y2?y1?－15y1?y1?15y1+y1≥215，

?MN的最小值为215．

(3)圆心C的坐标为(4,y1?y22)，半径r?y2?y12.

圆C的方程为(x?4)?(y?2y1?y22)?2(y2?y1)42，

整理得：x2?y2?8x?(y1?y2)y?16?y1y2?0.

?y1y2??15，?x?y?8x?(y1?y2)y?1?0

22 令y?0，得x2?8x?1?0，?x?4?15. ?圆C过定点(4?15,0). 6.（2009北京理）（本小题共14分）

已知双曲线C:xa22?yb22?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?33 （Ⅰ）求双曲线C的方程；

22（Ⅱ）设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C交

于不同的两点A,B，证明?AOB的大小为定值.