【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
??a2?3（Ⅰ）由题意，得??c3，解得a?1,c?3，
?c??a?32 ∴b2?c2?a2?2，∴所求双曲线C的方程为x2?y2?1.
（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上， 圆在点P?xx00,y0?处的切线方程为y?y0??y?x?x0?，
0化简得x0x?y0y?2.
?2由??x2?y2?1及
x220?y0?2??x0x?y0y?2?3x2220?4?x?4x0x?8?2x0?0，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x20?2， ∴3x24?0，且??16x2220?0?4?3x0?4??8?2x0??0，
设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， 2则x1?x4x02?3x2?4,x1x8?2x02?03x2，
0?4???∵cos?AOB????OA?????OB?OA?????OB?，且
????????OA?OB?xy11x2?y12?x1x2?y2?2?x0x1??2?x0x2?，
0?x11x2?2?x2??4?2xx20?x1?2??x0x1x2?? 08?2x2?2?01x220?8?23x24?2?x2?4?8x02?x0??2? 0?0??3x0?43x0?4??2??8?2x03x2?8?2x200?43x20?4?0.
得
∴ ?AOB的大小为90?. 【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上， 圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0y0?x?x0?，
?2y2?1?x?22化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0?3x?3x2020?4?x?4x0x?8?2x0?0 ①
2222?4?y?8y0x?8?2x0?0 ②
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x02?2，
2?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， ∴3x0则x1x2?8?2x02023x?4,y1y2?2x0?83x?4202，
????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90?.
22222（∵x0?y0?2且x0y0?0，∴0?x0?2,0?y0?2，从而当3x0?4?0时，方程①和方程②的判别式均大于零）. 8.(2009山东卷理)（本小题满分14分） 设椭圆E:
xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E:
xa22?yb22?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,
21?4?1??1?22???a2?8xy?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为84?b?4?6?1?1?1?1222??b4?a?b（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,
????????且OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx??y?kx?m?解方程组?x2y2得m??1?4?821世纪教育网22222x?2(kx?m)?8,即(1?2k)x?4kmx?2m?8?0,
则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k2?m2?4?0 4km?x?x??122??1?2k?22m?8?xx?122?1?2k?y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m?22,
k(2m?8)1?2k2222?24km1?2k222?m?2m?8k1?2k222?????????要使OA?O,需使x1x23m?882632y1?y02,即
2m?81?2k222?m?8k1?2k2?0,所以
3m?8k?8?0,所以k?222?m2?2,所以?0又8k?m?4?0,所以?23m?8?2m?283,即m?263或m??,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切
线,所以圆的半径为r?m1?k2,r?2m221?k?1?m223m?88263?83,r?263,所求的圆为
x?y?2283,此时圆的切线y?kx?m都满足m?22或m??263,而当切线的斜
率不存在时切线为x??263与椭圆
x8?y4?1的两个交点为(263,?263)或
????????822(?,?)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x?y?，使得该圆的
333????????任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB.
26264km?x?x??122??1?2k因为?, 2?xx?2m?8122?1?2k?所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?224km1?2k2)?4?22m?81?2k22?8(8k?m?4)(1?2k)2222,
|AB|?(x1?x2)??y1?y2??2422(1?k)(x1?x2)?k42222(1?k)28(8k?m?4)(1?2k)2222 ?324k?5k?1??4234k?4k?1323[1?4k?4k?1],
①当k?0时|AB|?323[1?4k?211k14k?2] ?42因为4k2?1k2?4?8所以0?1k2??418,
所以
323?323[1?4k?211k2]?12, ?4所以436?|AB|?23当且仅当k??22时取”=”.
21世纪教育网② 当k?0时,|AB|?463.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(263,?263)或(?263,?263),所以此时
|AB|?463,
4343综上, |AB |的取值范围为6?|AB|?23即: |AB|?[6,23]
9. (2009山东卷文)（本小题满分14分）
????设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动
点M(x,y)的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
21世纪教育网（2）已知m?14,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交
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