北师大版高中数学《必修5》全部教案

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北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案

第一课时 1.1.1 数列的概念

一、教学目标

1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

二、教学重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程

（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数

象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

（二）、推进新课 ［合作探究］ 折纸问题

师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).

生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

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生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为

11111, , , ,…, ,…. 24816256

生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.

师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序.

师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？

生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.

为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项. 首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．

以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.

2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

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请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列. 4、通项公式法:如数列

的通项公式为

的通项公式为

；

；

的通项公式为 ；

项，又是这个数列中所有各项的一般表

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第

示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 例如，数列

的通项公式

，则

．

值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］

师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n. ［例题剖析］

例1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项： (1)an=

n;(2)an=(-1)n·n. n?112345;a2=;a3=;a4=;a5=. 23456师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项. 生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=

(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5. 师 好！就这样解.

例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，…；(2)

246810，，，，，…； 315356399(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，….

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师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)

生老师，我写好了！

1?(?1)n2n解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；

(2n?1)(2n?1)21?(?1)n(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴an＝n＋；

2(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴an＝(-1)n+1n(n＋1).

师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式. （三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4

补充题：已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么( )

A.30是数列{an}的一项

C.66是数列{an}的一项

B.44是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项

分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C

点评：看一个数A是不是数列{an}中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，使得an=A.

（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。 （五）、布置作业课本习题1-1A组1、2、3、4。 五、教后反思：

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第二课时 1.1.2数列的函数特性

一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。 二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。 难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。 三、教学方法：讲授法为主 四、教学过程 （一）、导入新课

师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？

生 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 师 你能举例说明吗？

生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*); 1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n≤3);

1111 , , ,…的通项公式为an= (n∈N*). 234n11教师进一步启发上面数列an=n-1、an=与函数f(x)?x?1,f(x)?有什么关系？你能用图象

nx1,

直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。 （二）新知探究

1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集

，或是正整数集

的有限子集

．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32

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