第2章 矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算

一、矩阵的概念与几类特殊方阵 （一）矩阵及相关概念

1.矩阵 m?n个数aij排成m行n列的表格

?a11?a?21?...??am1

a12a22...am2...a1n?...a2n??称为m?n矩阵，简记A或(a)，若m?n，则称A是n阶矩阵或n方阵

ijm?n......??..amn?2.0矩阵 如果矩阵A中所有元素都是0，则称为零矩阵

3.同型矩阵 矩阵A=(aij)m?n，B?(bij)s?t，m?s，n?t，则称A与B同型矩阵 4.矩阵相等 同型矩阵A?B?aij?bij(?i,j)，即对应的元素都相等

5.方阵的行列式 对于方阵A?(aij)，其元素可构造n阶行列式

a11a21★★A?...an1a12a22...an2...a1n...a2n ，由A?B，得不到A?B

........ann

(二)几类特殊方阵

1.单位矩阵 主对角线上的元素全是1，其余元素均为0的n阶段方阵，称为n阶单位矩阵，记E

EA?AE?A；A?E；需要强调阶数的时候，为En

0

2.对称矩阵

设A是n阶矩阵，如A?A，即★aij?aji(?i,j) 实对称矩阵一定能对角化

3.反对称矩阵

设A是n阶矩阵，如A??A，即aij?-aji(?i,j)，★aii?0

若A、B是同阶的（反）对称矩阵，则A?B，A?B，?A也是（反）对称矩阵，但AB不一定是（反）对称矩阵

4.对角矩阵

设A是n阶矩阵，如aij?0(?i?j)，对角矩阵记为?；同阶的对角矩阵的和差、积仍然是对角矩阵

5.逆矩阵

设A是n阶矩阵，如存在n阶矩阵B，使AB?BA?E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，A的逆矩阵唯一记为A

?1TT★★6.正交矩阵

设A是n阶矩阵，如AA?AA?E，则称A是正交矩阵，A

★★7.伴随矩阵

设A?(aij)是n阶矩，则由行列式A的各元素aij的代数余子式Aij所构成的n阶矩阵

TT?1?AT；A是一个被单位化的矩阵

?A11?A12★★??...??A1n

A21...An1?A22...An2??称为A的伴随矩阵，记为A* 记得转置 .........??A2n..Ann?8.合同矩阵A~B

两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C，使得CAC?B，则称矩阵A、B合同，记作A~B；任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵；

两个合同的充分条件：实对称矩阵A~B的充分条件是A~B相似； 两个合同的充要条件是相同的正负惯性指数； 两个合同的必要条件是秩相同

9.相似矩阵A~B

?1 设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵PAP?B，则称矩阵A与B相似，记为A~B，相同的特征值、

T秩、迹、行列式，A~B具有传递性、其逆矩阵、转置矩阵都相似

10.矩阵的等价

设A是m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得PAQ???Er?00?，等价标准型；引入0??了秩的概念

11．行阶梯矩阵、行最简形矩阵、初等矩阵（单位矩阵经过一次初等变换，均可逆）

二、矩阵的运算

（一）矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设A?(aij),B?(bij)是两个m?n矩阵，则m?n矩阵C?(cij)?(aij?bij)称为矩阵A,B的和A?B?C

2.矩阵的数乘

设A?(aij)是m?n矩阵，k是一个常数，则m?n矩阵(kaij)称为数k与矩阵A的数乘，记作kA

3.矩阵的乘法

设A?(aij)是m?n矩阵，B?(bij)是n?s矩阵，那么m?s矩阵C?(cij)

其中cij?ai1b1j?ai2b2j?...?ainbnj??ak?1nikkjb，称为A与B的乘积，记为C?AB

（1）矩阵的乘法一般没有交换律AB?BA，只有A与B可交换，即可有AB?BA

2（2）AB?0，B?0，不能推出A?0；A?A，不能推出A?E或A?0；AB?0应联想到B中的

每一列都是齐次方程Ax?0的解，若B?0，则齐次方程有非零解，r(A)?r(b)?n

（3）矩阵乘法不具有消去率，对于AB?0(A?0)，以下两种情况消去率成立： ①若AB?0，且矩阵A可逆，则B?0；（每一列都是0向量）只有零解 ②若AB?0，且r(A)?A的列数，则B?0；

（4）AB?AC，A?0，不能推出B?C，若A是m?n矩阵，秩r(A)?n，命题成立

（二）关于逆矩阵的运算规律

(1)(A?1)?1?A (2)(kA)?1?1?1A (3)(AB)?1?B?1A?1 k?1(4)(A?1)T?(AT)?1 (5)A?1?A (6)(An)?1?(A?1)n

（三）关于矩阵转置的运算规律

(1)(AT)T?A (2)(kAT)?kAT (3)(AB)T?BTAT ★★(4)(A?B)T?AT?BT★★

（四）关于伴随矩阵的运算规律

(1)A?A?AA??AE (2)A??An?1 (n?2) ★★ (3)(A?)??An?2A

(4)(kA)??kn?1A? (5)(A?)T?(AT)?

??(6)r(A?)?n,r(A)?n; ★r(A)?1,r(A)?n?1; ★ r(A)?0,r(A)?n?1 矩阵与伴随矩阵秩的关系

?-1(7)若A可逆，则(A)?1A；(A?)-1?(A?1)*；A??AA?1 A

（五）关于分块矩阵的运算法则

?A(1)?1?A3A2??B1??A4???B3B2??A1?B1??B4???A3?B3A2?B2? 区别于行列式的运算

A4?B4???AB??XY??AX?BZAY?BW? (2)????????CD??ZW??CX?DZCY?DW??AT?AB?(3)????TCD???B?Bn?BO?(4)????OC???OnTCT?★★二次型可能会涉及到 T?D?O??★★特征值、相似可能会涉及到 Cn??B-1?BO?(5)????OC???O-1?OO?? ★★?CC-1??B??OC?1????1?★★区别于副对角线矩阵求行列式 ?O?BO??-1（6）如果AB?C，其中A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，那么

①对矩阵B、C行分块；可得AB的行向量可由B的行向量线性表出； ②对矩阵A、C列分块；可得AB的列向量可由A的列向量线性表出

★★三、矩阵可逆的充分必要条件

n阶方阵A可逆，等价于

1.存在n阶方阵B，有AB?BA?E 2.A?0

3.r(A)?n ★4.A?P1P2???Ps，其中Pi是初等矩阵★ 5.A列（行）向量线性无关 6.齐次方程组Ax?0只有0解 ；A?0 7.存在b，非齐次方程组Ax?b总有唯一解 8.A的特征值全部不为0

四、矩阵的初等变换与初等矩阵 （一）矩阵的初等变换及相关概念

1.矩阵的初等变换（三种情况）（对秩没有影响）

下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换 （1）对调矩阵的两行列（对秩没有影响，对行列式有影响）

（2）用非零常数k乘以某行列中所有元素（对秩序没有影响，对行列式有影响） （3）把矩阵某行列所有元素的k倍加至另一行列对应的元素上去（容易搞错） ①秩、行列式 ★★求秩、行列式值（行列变换可混用）；★★ ②逆矩阵 ★★求逆矩阵（只用行或只用列）；★★ ③线性方程的组 ★★求线性方程组的解（只用行变换）★★

★★2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

行阶梯性矩阵

（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵

①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方

②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大 行最简形矩阵

（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵

对于任何矩阵A，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵★

（二）初等矩阵的概念

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵

（三）初等矩阵的性质

1.设初等矩阵P，则PA为行变换；AP为列变换 2.初等矩阵均可逆，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵

?001??001??1?010???010?；副对角线相等Eij?Eij

???????100???100??-1