x→+∞，f（x）=2+→2 所以
（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作
x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2
例：函数，当x→-∞时，f（x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞
→2，即有
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。 例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，记作
其几何意义如图3所示。
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 （四）函数极限的定理
定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件： （1），（2） 则有。
注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果则 （1） （2） （3）当时，时，
上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论： （1） （2） （3）
用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。 （五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作 常用希腊字母，…来表示无穷小量。
定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是： 可表示为A与一个无穷小量之和。
注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。
（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。
（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：
振荡型发散
（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。
（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。 2.无穷大量（简称无穷大）
定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。
注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。 3.无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。
定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。 当无穷大
无穷小
当为无穷小
无穷大
4.无穷小量的基本性质
性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；
性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较
定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。 （1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作； （2）如果则称与为同阶的无穷小量； （3）如果则称与为等价无穷小量，记为； （4）如果则称是比较低价的无穷小量。当
等价无穷小量代换定理： 如果当时，
均为无穷小 又有
均为无穷小量，又有
且
存在，则
。
这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有： 当时，
sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;
（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ
重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式
令
这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。 其结构式为：
2.重要极限Ⅱ
重要极限Ⅱ是指下面的公式：
其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为 e=2.718281828495045…… 其结构式为：
重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。 （七）求极限的方法：
1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限；
3.利用无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；
5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式
（2） （3） （4）
例1.无穷小量的有关概念
（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是 A.B. C.A.
D. [答]C 发散
D.
（2）[0202]当时，与x比较是 A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量
C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 [答]B 解:当,与x是
极限的运算： [0611]
解： [答案]-1
例2.型因式分解约分求极限 （1）[0208]解:
（2）[0621]计算
[答]
解:
例3.型有理化约分求极限 （1）[0316]计算
[答] [答]
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