∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二）
证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H ∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF是正方形 ∴CG=GF ∵AP⊥FP 设AB=x，BP=y，CG=z ∴∠APB+∠FPG=90° z：y=（x-y+z）：x ∵∠APB+∠BAP=90° 化简得（x-y）·y=（x-y）·z ∴∠FPG=∠BAP ∵x-y≠0 又∠FGP=∠PBA ∴y=z ∴△FGP∽△PBA 即BP=FG ∴FG：PB=PG：AB ∴△ABP≌△PGF
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H， 连接OH、MH、EC ∵EH=FH
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90° ∴EM=KM 又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∵EK∥BD ∴P、C、H、O四点共圆 OBAOOD∴ ??∴∠HCO=∠HPO EMAMKM又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD ∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO ∴H、C、E、M四点共圆 ∴四边形ABCD的对角∴∠ECM=∠EHM 线互相平分 又∠ECM=∠EFA ∴ABCD是平行四边形 ∴∠EHM=∠EFA ∴AB=DC，BC=AD ∴HM∥AC ∵EH=FH
经典题(四)
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求∠APB的度数．（初二）
解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是正三角形
P∴∠BQP=60°，PQ=PB=3
在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° B∴∠APB=∠BQC=150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
AACQD5 / 9 EP证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线， 两平行线相交于点E，连接BE ∵PE∥AD，AE∥PD ∴ADPE是平行四边形 ∴PE=AD，
又ABCD是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC
又PE∥AD，AD∥BC 又∠ADP=∠ABP ∴PE∥BC ∴∠AEP=∠ABP ∴BCPE是平行四边形 ∴A、E、B、P四点共圆 ∴∠BEP=∠PCB ∴∠BEP=∠PAB ∵ADPE是平行四边形 ∴∠PAB=∠PCB ∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三） 证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD A⌒ =CD⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∵CD
∴△BEC∽△ADC
DBEBC∴ ?ADAC∴AD·BC=BE·AC……………………① ∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD
⌒ =BC⌒ ,∴∠BAC=∠BDC ∵BC
△BAC∽△EDC ∴
BECABAC ?DECD①+②得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC =（DE+BE）·AC =BD·AC ∴AB·CD=DE·AC……………………②
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE 11
∴S△ADE= AE·DG，S△FDC= FC·DH
221
又S△ADE= S△FDC= S□ABCD
2∴AE·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上 ∴∠DPA＝∠DPC
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AFGP HDBEC经典题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：3≤L＜2． 证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE， ∵BP=BE，∠PBE=60° ∴△PBE是正三角形。 ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=3 ∴L=PA+PB+PC≤3
（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G 则△ADG是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP，AG=DG ∵∠APD＞∠AGP ∴∠APD＞∠ADP
∴AD＞PA…………………………① 又BD+PD＞PB……………………② CG+PG＞PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L＜2
由（1）（2）可知：3≤L＜2．
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE， 则△BPE是正三角形 ∴PE=PB
PBECDFBEDPGAC∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF
∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）
此时AF= PA+PE+EF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
GF31
∴GF= ，BG=
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?1??3?∴AF=GF2?AG2=????=2?3 ?1????2??2?∴PA＋PB＋PC的最小值是2?3
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长． 证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a
∴QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·PAcos135°
22APDBQC =4a2+a2-2×2a×a×(-
2) 2解得BC=5?22a ∴正方形的边长为5?22a
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．
A解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG
∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60° ∴△BCG是正三角形 ∴BG=BC
∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF ∴AE=AF 1
∴∠AFE=∠AEF= （180°-∠A）=80°
2
又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60° ∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG 1
∠BGD=∠BDG= （180°-∠ABE）=80°
2
∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
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BCFDEG
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