§2.2.1双曲线简单的几何性质 ( 第1课时)
[自学目标]:
掌握双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。 [重点]:
双曲线几何性质 [难点]:
双曲线几何性质的应用,双曲线第二定义。 教学过程
一、课前准备：
复习 1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
① a = 3,b = 4 ，焦点在x轴上； ②焦点在 y 轴上，焦距为 8， a = 2 ．
复习 2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学： 学习探究
问题 1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的标准方程及简单的几何性质? 标准方程 观察图形， 把握对称性，开放性和特殊点 范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实轴与实轴的长 虚轴与虚轴的长 渐进线 离心率
问题 2：实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线． 等轴双曲线a=b，渐近线方程为________,离心率=_________.
1
[预习自测]
x2y2
1.双曲线－＝1的渐近线方程是( )
49
3294
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 2349
2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（ ）
x2y2x2y2y2x2??1 B、??1或??1 A、
259259259x2y2x2y2y2x2??1 D、??1或??1 C、
1003610036100363.下列曲线的离心率为
6的是（ ） 2x2y2x2y2??1 B、??1 A、2442x2y2x2y2??1 D、??1 C 、464104.双曲线5y?4x??20的实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程为 ，离心率为 。
请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]
探究一：双曲线简单几何性质
例1：求双曲线16x?9y?144的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
探究二：由性质求方程
2
2222例2：求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
例3: 点 M(x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线l :x?求点M 的轨迹。
[当堂检测]
x22
1、双曲线－y＝1的离心率是( )
4
3553 B. C. D. 224222xy
2、双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
412
A．23 B．2 C.3 D．1
A.
3、双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
11
A．－ B．－4 C．4 D.
44
x2y21
4、若双曲线－2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________
4b2
[拓展提升]
1.双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
3
165的距离的比是常数，54C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
2.经过点 A( 3,-1 ) ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是_______
3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 44C.－＝1 49
y2x2y2x2
B.－＝1 44D.－＝1 84
x2y2x2y2
x2y2
4.求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲
169
线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程。
5.已知双曲线的渐近线方程为2x?3y?0。
（1）若双曲线过点P（6,2），求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的焦距是213，求双曲线的标准方程。
a2cc6.求到定点F（c,0）（c>0）和它到定直线l:x?距离之比是(>1)的点M的轨迹方程。
caa
4
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