2012年各地中考数学压轴题精选精析40例
【1.2012临沂】
26．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题；分类讨论。 解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得
，
2
=2，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x
（3）存在，
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=±2，
当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，
∴∠POD=60°，
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2
不符合题意，舍去，
） |2=42， ），
|，
2
∴点P的坐标为（2，﹣2②若OB=PB，则42+|y+2解得y=﹣2， 故点P的坐标为（2，﹣2
2
2
2
③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+2解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2
），
【2.2012菏泽】
21．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
考点：二次函数综合题。 解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0）， ∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．
设抛物线的解析式为：y?ax2?bx?c(a?0)， ∵抛物线经过点A′、B′、B，
?0?a?b?c?a??1??，解之得?b?1， ??2?c?0?4a?2b?c?c?2???满足条件的抛物线的解析式为y??x?x?2.．
2（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y??x2?x?2． 连接PB，PO，PB′，
?S四边形PB?A?B ?S?B?OA? ?S?PB?O ?S?POB ?12?1?2+212?2?x+12?2?y
2?x?(?x?x?2)?1??x?2x?3.
假设四边形PB?A?B的面积是?A?B?O面积的4倍，则 2?x?2x?3?4，
即x2?2x?1?0，解之得x?1，此时y??12?1?2?2，即P(1,2).
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍． （3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可． ①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等； ③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等． 或用符号表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．
【3. 2012义乌市】
24．如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k，
∴k=2， ∴y=2x．（2012义乌市） OA=（2）
．…（3分）
是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 此时
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5分）， ∴
，
． …（7分）①①
；
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得
（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD=∠BAE，
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