2020届高考数学(理)课标版二轮复习训练习题：重难考点专题一第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形

一、选择题

π

1.(2019河北石家庄模拟)已知cos(π+α)=2cos(π-α),则tan(+α)=( ) 24A.-3

1

B.3 C.-1 D. 331+tan??

答案 A ∵cos(π+α)=2cos(π-α),∴-sin α=-2cos α,∴tan α=2,∴tan(π+α)==-3,241-tan??

故选A.

332.若0<α<π<β<π,cos α=,sin(α+β)=-,则cos β=( ) 2557A.-25 724

B.25 C.-24 D.± 2525

答案 C cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,

3π

因为α+β∈(π,),所以cos(α+β)<0, 22则cos(α+β)=-4. 5因为α∈(0,π),所以sin α>0, 2

433424所以sin α=4,所以cos β=(-)×+(-)×=-. 55555253sinC3.(2018河南开封模拟,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=π,=2sin 3cos??2

Asin B,且b=6,则c=( ) A.2 B.3

C.4 D.6

答案 C 在△ABC中,A=π,b=6, 3∴a2=b2+c2-2bccos A=36+c2-6c①.

C3??∵3sin=2sin Asin B,∴cos??=2ab, cos??2

2

即

3??2??2+??-??2

cos C=2????=2????,

2

∴a2+36=4c2②,

由①②解得c=4或c=-6(不符合题意,舍去).∴c=4.故选C.

4.(2019河北唐山一模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h=( )

√11A.√15 B. 22

C.3√415 D.3√815

答案 D ∵a=2,b=3,c=4,

2-??29+16-4217∴cos A=??+??=2×3×4=24=8, 2????2

15√15√=, 则sin A=√1-cos2A=√1-49=64648√153√15则h=ACsin A=bsin A=3×=8,故选D. 85.(2019湖南郴州一模,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-√3bc=a2,bc=√3a2,则角C的大小是( )

2ππA.π或 B. 633πC.2π D. 36答案 A 由b+c-√3bc=a,得b+c-a

2

2

2

2

2

2

2-??2√3bc√3

=√3bc,则cos A=??+??=2????=2,因为A∈(0,π),2????

2

所以A=π, 6

1√3由bc=√3a2,得sin Bsin C=√3sin2A=√3×=, 44

即4sin(π-C-A)sin C=√3,

即4sin(C+A)sin C=4sin(??+π)sin C=√3, 6即4(√23sin??+1cos??)sin C=2√3sin2C+2sin Ccos C=√3, 2即√3(1-cos 2C)+sin 2C=√3-√3cos 2C+sin 2C=√3, 则-√3cos 2C+sin 2C=0,

则√3cos 2C=sin 2C,则tan 2C=√3,因为C∈(0,π),所以2C∈(0,2π),

4ππ2π所以2C=π或,即C=或,故选A. 3363

-??cos??6.(2019安徽六安模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2??=cos??,b=4,??则△ABC的面积的最大值为( )

A.4√3 B.2√3 C.2 D.√3 -??cos??

答案 A ∵在△ABC中,2??=cos??, ??

∴(2a-c)cos B=bcos C,

∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,

∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A,

π∴cos B=1,即B=,由余弦定理可得16=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac,∴ac≤16,23当且仅当a=c时取等号,

√3∴△ABC的面积S=1acsin B=ac≤4√3.故选A. 24二、填空题

37.(2019安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角,且cos(??+π)=,则cos(??+

653π

)= 2

.

4√3-3

10

答案

ππ2ππ3π43π

解析 因为0<α<π,所以<α+<,又cos(??+)=,所以sin(??+)=,则cos(??+)=sin 266365652πππππ4√3314√3-3α=sin[(??+π)-]=sin(??+)cos-cos(??+)sin=×-×=. 666666525210

8.(2019河南郑州第二次质检,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

1且sin C+2sin Ccos B=sin A,C∈(0,π),a=√6,cos B=,则b= . 23

答案

12

5

1

解析 由正弦定理及题意可得c+2c×=a, 33√6即a=5c,又a=6,所以c=, √351214412由余弦定理得b2=6+54-=,所以b=. 2552559.(2019河北衡水模拟,14)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,√3sin Acos C+

(√3sin C+b)cos A=0,则A= .

答案

5π 6

解析 由√3sin Acos C+(√3sin C+b)cos A=0,得√3sin Acos C+√3sin C·cos A=-bcos A,所以√3sin(A+C)=-bcos A,即√3sin B=-bcos A,

√3????-????sin??

又sin??=sin??,所以cos??=sin??=-sin??,又a=1,从而cos??=-√13?tan A=-√33,因为0

2√2112√2解析 由cos B=1,得sin B=,由三角形的面积公式可得acsin B=ac·=4√2,332231则ac=12①,由b2=a2+c2-2accos B,b=4,可得16=a2+c2-2×12×,则a2+c2=24②,联立①②3

可得a=c=2√3,所以△ABC的周长为4√3+4. 三、解答题

11.(2019湖北武汉调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=√10,B=2A,b=√15. 4(1)求a;

????1(2)已知M在边BC上,且????=2,求△CMA的面积.

√6解析 (1)由0

√6√10√15又B=2A,∴sin B=sin 2A=2sin Acos A=2××4=4, 4又b=√15,∴正弦定理可知,a=??sin??=√6. sin??(2)cos B=cos 2A=2cosA-1=2×(

2

√104

)-1=1, 42

1√10√153√6∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=√46×+×4=8, 4413√69√15∴△ABC的面积S△ABC=1absin C=×6×15×=, √√2288????119√153√15又????=2,∴S△CMA=1S=8. △ABC=×338

12.(2019云南昆明质检)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(c-acos B)=√3b. (1)求角A;

(2)若a=2,求△ABC面积的取值范围.

解析 (1)由2(c-acos B)=√3b及正弦定理得2(sin C-sin Acos B)=√3sin B, 所以2sin(A+B)-2sin Acos B=√3sin B,即2cos Asin B=√3sin B, 因为sin B≠0,所以cos A=√23,又0

1所以S△ABC=1bcsin A=bc. 24

所以S△ABC=4sin Bsin C.

5π因为C=π-(A+B)=5π-B,所以sin C=sin(-B), 66

√31所以S△ABC=4sin Bsin(5π-B)=4sin B(cos??+sin??) 622=2sin Bcos B+2√3sin2B =sin 2B-√3cos 2B+√3 =2sin(2??-π)+√3. 3ππ4π因为0

13.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC为锐

√3)角,AD⊥BD,AC平分∠BAD,BC=2√3,BD=3+√6,△BCD的面积S=3×(√2+. 2

(1)求CD; (2)求∠ABC.