2016年大学自主招生数学模拟试题（三）

2016年大学自主招生数学模拟试题（三）

一 选择题

1．二项式(1?x)100的展开式中系数之比为33：68的相邻两项是（ ）

（A）第29、30项； （B）第33、34式； （C）第55、56项； （D）第81、82项. 2．40个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题，具体情况如下表所述： 问 题 代数学问题 几何学问题 三角学问题 代数学问题和几何学问题 代数学问题和三角学问题 几何学问题和三角学问题 解决问题的学生数 20 18 18 7 8 9 其中有3个学生一个问题都没有解决，问三个问题都解决的学生是 （ ） （A）5； （B）6； （C）7； （D）8. 3．方程3x?e?0的实根（ ）

（A）不存在； （B）有一个； （C）有两个； （D）有三个. 4．当关于x的不等式tan2(cos4?2?x2)?4atan(cos4?2?x2)?2?2a?0有有限个解时，a的取值是（ ）

（A）全体实数； （B）唯一的实数； （C）两个不同的实数； （D）无法确定.

x?yx?y??x?y5．方程组?的解有 （ ）

??yx?12x（A）一组； （B）两组； （C）三组； （D）四组.

6．如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）

13（A）； （B）；

2422（C）； （D）.

35AD

E

B CF

二 解答题

7．10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻学生的帽子的颜色不同，则满足要求的发帽子的方法共有多少种？

20n?3n,n?N?，那么使f(n)有最大值时，n的值是多少？ 8．已知函数f(n)?n!1

9．如右图，平面上有四个点A、B、P、Q，A、B为定点，且AB?3,P、Q为动点满足关系AP?PQ?QB?1，又?APB和?PQB的面积分别为S、T. （1）求S?T的取值范围.

（2）当S?T取得最大值时，判断?APB的形状.

2222

10．一副纸牌有52张，分别编号1,2,?,52.A、B、C、D四个人每人从中抽出一张（不放回），每张纸牌被抽到的可能性是相同的，抽到编号较小的两个人为一个组，抽到编号较大的两个人为另一组，已知A抽到编号为a、a?9的两张纸牌中的一张，而D抽到这两张纸牌中的另一张，设A、D两个人在同一组的概率为p(a)，当p(a)?1时，求p(a)的最小2值

11．男女各2n个人，混合围成内外二圈，每圈2n个人，游戏规则：内外两圈的男女互相对面时，则起舞，否则就鼓掌，试证：至少有一次起舞，男女舞对不少于n

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