第五章 相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1 相交线
邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 对顶角 图形 2 1 ∠1与∠2 4 3 ∠3与∠4 顶点 有公共顶点 边的关系 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 大小关系 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角． 错解：如图， 对顶角为：（1）∠AOC与∠BOD ；
（2）∠AOF与∠BOD ； （3）∠COF与∠DOE ； （4）∠AOC与∠BOE ．
错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解
和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ．
正解：（1）∠AOC与∠BOD ；（2）∠BOE与∠AOF；（3）∠COF与∠DOE；
（4）∠COE与∠DOF．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角）
5.1.2 垂线
1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. C 符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O
B A O 2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
D
3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
l
如图，直线a,b被直线l所截
2 1 3 4 a
1、∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方，
6 5 b 7 8 2、∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错） 叫做同位角（位置相同）
3、∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角.
例：
A D 3 4 2
1 5 6 7 F B C 8 9 E 如图，判断下列各对角的位置关系： （1）∠1与∠2；（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD；（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8. 解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图. 如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.
A A A D 2 A D 2 6 C 1 1 A 1 7 B B C F F B F B 5 8 C
E B
注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.
5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线
1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b. 2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（∵两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
a
如左图所示，∵b∥a，c∥a b ∴b∥c
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都
c
平行. 例：同一平面内，不相交的两条线是平行线. 错解：对 ．
错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．若是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的 ．
正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线 ．
5.2.2 平行线的判定
判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 E 几何符号语言： A 3 B ∵ ∠3＝∠2
4 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 1 ∵ ∠1＝∠2 C ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 2 D ∵ ∠4＋∠2＝180° F ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 例：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： （1）不相交的两条直线必定平行线.
（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. （3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解：（1）错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. （2）正确
（3）错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.∵如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.
例：如图，由条件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？ A D
解：（1）由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行； （2）由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行； （3）由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行.
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. E A 3 B 几何符号语言： 1 4 ∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） C ∵AB∥CD 2 D ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
F ∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 例：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C A
证明：∵∠1＝∠B（已知）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） 2 E D 1 ∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等） 例：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°
B C 求∠2、∠3的度数
A
D E 2 3
1 C F B 解：∵DE∥BC
∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥DF
∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
例：如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能说明EG和FH也平行吗?
1∠BEN． 21同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH =∠DFN．
2错解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG =
相关推荐：
loading