第一章 行程问题
1、相遇问题 2、追及问题 3 行船问题 4 列车问题 5 时钟问题
第二章 分数问题
1 工程问题 2 百分数问题 3 存款利率问题 4 溶液浓度问题 5 商品利润问题
第三章 比例问题
1、归一问题 2、归总问题 3 正反比例问题 4 按比例分配问题 5、盈亏问题
第四章 和差倍比问题
1 和差问题 2．和倍问题
第五章 植树与方阵问题
1 植树问题
第六章 鸡兔同笼问题
第七章 条件最值问题
1 公约公倍问题
第八章 还原问题
第九章 列方程问题
第十章“牛吃草”问题
第十一章 数学游戏
1 构图布数问题
3. 差倍问题 2 幻方问题
1
4 倍比问题 5 年龄问题 2 方阵问题 2 最值问题 3 抽屉原则问题
第一章 行程问题
1、相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时
行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 例 2 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此， 相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时） 两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米） 答：两地距离是84千米。
2、追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
例2 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？
分析 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：
解： 乙的速度为：10÷5×4÷2=4（米/秒） 甲的速度为：10÷5+4=6（米/秒）
答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒.
例3 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶
晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多
少圈？
分析 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致.因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程. 解： ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间： 200÷（6-4）=100（秒）
②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6×100=600（米） ③晶晶第一次被追上时所跑的路程： 4×100=400（米）
2
④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数： （600×2）÷200=6（圈）
⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数： （400×2）÷200=4（圈） 答：略.
解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度.
3 行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 顺水速度=船速+水速， 逆水速度=船速-水速. 【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速 顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2 船速 水速 顺水速度 逆水速度，其中三个的关系
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时
3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 例2 .已知一条小船，顺水航行60千米需5小时，逆水航行72千米需9小时。现在小船从上游甲城到
下游乙城，已知两城间的水路距离是96千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城
时，木板离乙城还有多远？ 顺水航行60千米需5小时 顺水速度：60÷5=12 逆水航行72千米需9小时 逆水速度：72÷9=8 水流速度：（12-8）÷2=2
现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离是96千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城时，木板离乙城还有多远？ 96-2×（96÷12）=80 小船从上游甲城到下游乙城：（96÷12）
木板行的距离2×（96÷12）
例3.一摩托车顶风行40千米用了2小时，风速为每小时2千米，则这辆摩托车行驶时每小时行多少千
米？
4 列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及： 追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速） 火车相遇： 相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。将列车简缩为一个点
例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共
需要3分钟。这列火车长多少米？
解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车3分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
3
（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米） 列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长300米。
例 2 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒 （2000－1250）÷（88－58）＝25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米， 因此，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。
例3 一列快车长184米，一列慢车长168米，两车相向而行，，从相遇到离开需4秒钟，如果同向而
行，从快车追及慢车到离开，需16秒种，问快车和慢车速度各是多少？ 解、由于两车两车相向而行，从相遇到离开所行的距离为两车的长度和184+168=352米，用时4秒，则两车的速度和为352÷4=88米/秒；如果同向而行，从快车追用慢车到离开的追及距离同为两车的长度为352米，用时16秒，则两车的速度差为352÷16=22米/秒．根据和差问题公式可知，快车的速度为：（88+22）÷2=55米/秒．慢车为55-22=33米/秒．
例4 一列长225米的慢车 以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面
追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒） 答：需要73秒。
5 时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。钟面的一周分为60格，分针每分钟走一
1格，分针的速度是1；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。速度是 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1. 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
12解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
分针追上时针的时间为 20÷（1－1/12）≈ 22（分） 答：再经过22分钟时针正好与分针重合。 例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5×4－15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走
4
（5×4＋15）格。再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分） （5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）
答：4点06分及4点38分时两针成直角。 例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）
答：6点33分的时候分针与时针重合
例4 一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时
是什么时刻？
分析 由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论： ①先设此时是4点多：
4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.时针和分针的路程和是30，除以速度和，可得时间。
②再设此时是5点多：
5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，时针和分针的路程和是25，除以速度和，可得时间。
第二章 分数问题
1 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式
例1 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，
余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时） 答：还需要5小时才能完成。
例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24
个，求这批零件共有多少个？
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