解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个） （2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个） 答：这批零件共有168个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的＝1/7
所以，这批零件共有 24÷1/7＝168（个）
例3 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水
管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2， 所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2） ＝8.5≈9（个）
答：至少需要9个进水管。
2 百分数问题
【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量
标准量＝比较量÷百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1） 求一个数是另一个数的百分之几；
（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；
（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
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例1.红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？女职工比男职工
人数多百分之几？男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 例2 一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10千克的水，这是桶内的水正好是原来整桶水的一半，原
来一桶水有多少千克？ 例3.果品公司储存一批苹果，售出这批苹果的30％后，又运来160箱，这时比原来储存的苹果多1/10 ，
这时有苹果多少箱？
3 存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］ 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。
解 因为存款期内的总利息是（1488－1200）元， 所以总利率为 （1488－1200）÷1200 又因为已知月利率， 所以存款月数为 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月） 答：李大强的存款期是30月即两年半。
例 2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时
各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取
出，那么，谁的收益多？多多少元？
解 甲的总利息
10000×7.92%×2＋［10000×（1＋7.92%×2）］×8.28%×3 ＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元） 乙的总利息 10000×9%×5＝4500（元） 4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多38.53元。
4 溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。 【数量关系】 溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成
30%的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克） （2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。 例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
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解 假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出 600×（30%－25%）＝30（克）
这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克） 由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后
再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中
的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算： 原 有 甲容器 盐水500 盐500×12%＝60 盐60÷2＝30 盐30＋15＝45 盐水500 盐45－9＝36 乙容器 水500 盐水500＋250＝750 盐30 盐水750÷2＝375 盐30÷2＝15 盐水500 盐45－36＋15＝24 第一次把甲中一半盐水500÷2＝250 倒入乙中后 倒入甲中后 第三次使甲乙中 盐水同样多 第而次把乙中一半盐水250＋375＝625 由以上推算可知，
乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24÷500＝4.8% 答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。
5 商品利润问题
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。
【数量关系】 利润＝售价－进货价
利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率） 亏损＝进货价－售价 亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利
30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （52－50）÷50＝4% 答：该店是盈利的，盈利率是4%。
例2 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作
业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
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解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即 0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元） 剩下的作业本每册盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元） 又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80% 答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例3 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为 1－10%＝0.9 甲店定价为 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定价为 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店进货价为 6÷（1.20－1.17）＝200（元） 乙店定价为 200×1.2＝240（元） 答：乙店的定价是240元。
第三章 比例问题 1、归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】 总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克，3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要
几小时？
例2 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求
4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？ 例3 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花
了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？
2、归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】 1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量
例1 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？ 例2 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，
每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
3 正反比例问题
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【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间．
③路程一定，已走的路程与未走的路程．
④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长．
⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积． ⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数． ⑩圆的半径和面积．
(11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它的面积． (13)乘公共汽车的站数和票价．
(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．
(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．
分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例． 解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)
成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)
不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．
例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段
路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？
分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，
必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，
又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．
例3 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是
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