拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换 

****拉普拉斯变换及反变换****

定义：如果定义：

? ?

是一个关于的函数，使得当 是一个复变量；

时候，

；

? 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分的拉普拉斯变换结果。

；是

则的拉普拉斯变换由下列式子给出：

1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 L[af(t)]?aF(s) L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) df(t)]?sF(s)?f(0)dtd2f(t)L[]?s2F(s)?sf'(0)??f（0） 2dt???????L[L?ndnf(t)n??sF(s)?sn?kf(k?1)(0)?ndtk?1f(k?1)(t)???????dk?1f(t)dtk?1初始条件为0时 dnf(t)nL[]?sF(s) ndt

3 积分定理 一般形式 L[?f(t)dt]?2F(s)[?f(t)dt]t?0?ss2F(s)[?f(t)dt]t?0[??f(t)(dt)]t?0 L[??f(t)(dt)]?2??ss2s?共n个??nF(s)1nL[???f(t)(dt)]?n??n?k?1[???f(t)(dt)n]t?0sk?1s共n个初始条件为0时 ?F(s)L[???f(t)(dt)n]?n s共n个4 延迟定理（或称t域平移定理） L[f(t?T)1(t?T)]?e?TsF(s) 5 衰减定理（或称s域平移定理） L[f(t)e?at]?F(s?a) 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 limf(t)?limsF(s) t??s?0limf(t)?limsF(s) t?0s??L[?f1(t??)f2(?)d?]?L[?f1(t)f2(t??)d?]?F1(s)F2(s) 00tt2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) δ(t) ?T(t)???(t?nT) n?0?Z变换E(z) 1 z z?11 2 3 4 5 6 1 1 1?e?Ts1 s1(t) z z?11 2s1s3t t22Tz(z?1)2 Tz(z?1)2(z?1)321sn?1tn n!(?1)n?nzlim() n?aTa?0n!?az?e

7 8 9 10 11 12 13 14 15 1s?a e?at te?atzz?e?aT 1(s?a)2 Tze?aT(z?e?aT)2a s(s?a)1?e?at(1?e?aT)z (z?1)(z?e?aT)b?a (s?a)(s?b)e?at?e?bt zz ??aT?bTz?ez?ezsin?T 2z?2zcos?T?1z(z?cos?T) z?2zcos?T?12?s2?? 2 sin?t ss2??2cos?t ?(s?a)??22e?atsin?t e?atze?aTsin?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aTz2?ze?aTcos?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aTz z?a s?a(s?a)2??2cos?t at/T 1 s?(1/T)lna3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0F(s)?? （n?m）

A(s)ansn?an?1sn?1???a1s?a0式中系数a0,a1,...,an?1,an，b0,b1,?bm?1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s)?0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

ncicncc1c2F(s)??????????i （F-1）

s?s1s?s2s?sis?sni?1s?si

式中，s1,s2,?,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算： 或

ci?lim(s?si)F(s) （F-2）

s?sici?B(s) （F-3）

A?(s)s?si式中，A?(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

n?nci??st f(t)?L?F(s)??L??＝ (F-4) ce?i??i?1s?si?i?1?1?1i②

A(s)?0有重根

设A(s)?0有r重根s1，F(s)可写为

F?s??B(s) r(s?s1)(s?sr?1)?(s?sn)=

cicncrcr?1c1cr?1??????????? rr?1(s?s1)(s?s1)(s?s1)s?sr?1s?sis?sn式中，s1为F(s)的r重根，sr?1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

其中，cr?1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr?1，…, c1则按下式计算：

cr?lim(s?s1)rF(s)

s?s1cr?1?lims?s1d[(s?s1)rF(s)] ds?

cr?j1d(j)?lim(j)(s?s1)rF(s) (F-5) j!s?s1ds

?

1d(r?1) c1?lim(r?1)(s?s1)rF(s)

(r?1)!s?s1ds

原函数f(t)为 f(t)?L?1?F(s)?

?crcicn?cr?1c1cr?1?L?1????????????? rr?1(s?s1)s?sr?1s?sis?sn?(s?s1)?(s?s1)???crtr?1?cr?1tr?2???c?s1tni?(r?1)!r?2)!2t?c1??e?i?ciest(?r?1

（F-6）