1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1b?a)d(d?b?a)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ?x?1a2x?a1x0 (5)? ? ?0an?1x? ? ?0an?10?1? ? ?0an?2xna1xn1
an1xan
证明 用数学归纳法证明 当n2时
命题成立
x?1?x2?ax?a D2?a122x?a1 假设对于(n1)阶行列式命题成立 Dn1
即
xn1
a1 xn 有
2
an2xan1
则Dn按第一列展开
?1 Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? 1 因此
0?1 ? ? ? 11
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
00 ? ? ? x
00 ? ? ? ?1
xD n1
anxna1xnan1xan
对于n阶行列式命题成立
6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针
旋转90、或依副对角线翻转an1? ? ?ann D1?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?a1n 依次得
ann? ? ?a1n D3?? ? ?? ? ?? ? ?an1? ? ?a11a1n? ? ?ann D2?? ? ?? ? ?? ? ?
a11? ? ?an1
证明D1?D2?(?1)n(n?1)2D D3
D
证明 因为Ddet(aij) 所以
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann ? ? ?a2na11an1? ? ?ann D1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21a11a21 ?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2 ?(?1) 同理可证
1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1)D
D2?(?1)n(n?1)2a11? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2Da1n? ? ?ann
D3?(?1)
n(n?1)2D2?(?1)n(n?1)2(?1)n(n?1)2D?(?1)n(n?1)D?D
7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
(1)Dn?a1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a 未写出的元
素都是0 解 a0 Dn?0? ? ?010a0? ? ?0000a? ? ?00? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a0100(按第n行展开) ? ? ?0a0an?1 ?(?1)0? ? ?000a? ? ?0000? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a1a0?(?1)2n?a? ? ? 0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)?anan?1n?(?1)?(?1)
? ? ?a(n?2)(n?2)anan2
an2(a21)
x (2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x 得
解 将第一行乘(1)分别加到其余各行xaaa?xx?a0 Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a
再将各列都加到第一列上 得
x?(n?1)aaa? ? ?aD0x?a0?n?[x(n1)a](x? 00x?a? ? ?00? ?? 0? ?? 0? ?? ?0? ??x? 0?? ?aan(a?1)n? ? ?(a?n)nan?1(a?1)n?1 (3)D?n?1?? ? ??? aa ? ??1? ? ?(a?n)n?1; ?? ???a ? ??n11? ? ?1 解 根据第6题结果
有
1? Dn(n?1)aa1?1? n?1?(?1)2 a? ? ? ? ? ?n?1(a?1)? ? ?1n?1? ? ?a?n ?? ?? (a?? ? n?)n?1 an(a?1)n? ? ?(a?n)n此行列式为范德蒙德行列式
Dn(n?1)n?1?(?1)2)?(a?j?1)]
n?1?[(a?i?1?i?j?1 ?(?1)n(n?1)2i?j)]
n?1?[?(?i?j?1 ?(?1)n(n?1)2?(?1)n?(n?1)?? ? ??12?n?1?(i?j)
?i?j?1 ?n?1?(i?j)
?i?j?1a)n1
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