第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

*因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以?1*,?2,?3*是解空间的一组标准正交基.

3． 设?1,?2 ,… ,?n 是n维实列向量空间Rn 中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明: A?1,A?2 ,… ,A?n 也是Rn 中的一组标准正交基．

证明 因为?1,?2,?,?n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基, 所以

i?j?0 (i,j?1,2,L,n). (?i,?j)??iT?j??i?j?1 又因为A是n阶正交矩阵, 所以ATA?E. 则

i?j?0 (i,j?1,2,L,n) (A?i,A?j)?(A?i)T(A?j)??iT(ATA)?j??iT?j??i?j?1 故A?1,A?2,?,A?n也是Rn中的一组标准正交基. 5．设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明

?1?(2?1?2?2??3),?2?(2?1??2?2?3),?3?(?1?2?2?2?3)

也是V的一组标准正交基. 证明 由题知

?221?1?? ??1,?2,?3????1,?2,?3??2?1?2?

3????12?2??221?1??因为?1,?2,?3是一组标准正交基,且?2?1?2?的行向量组是单位正交向量组.3????12?2??221?1??所以??1,?2,?3?和?2?1?2?都是正交矩阵.

3????12?2?131313从而??1,?2,?3?也是正交矩阵.

所以?1,?2,?3是单位正交向量组, 构成V的一组标准正交基.

习题五

(A)

一、填空题

1．当k满足 时，?1??1,2,1?,?2??2,3,k?,?1??3,k,3?为R3的一组基. 解 三个三维向量为R3的一组基的充要条件是?1,?2,?3?0, 即k?2且k?6. 2．由向量???1,2,3?所生成的子空间的维数为 .

解 向量???1,2,3?所生成的子空间的维数为向量组?的秩, 故答案为1.

3．R3中的向量???3,7,1?在基?1??1,3,5?,?2??6,3,2?,?3??3,1,0?下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.

设所求坐标为(x1,x2,x3), 据题意有??x1?1?x2?2?x3?3. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算

?361M3??100M154??初等行变换??133M7?????010M?82??3,?2,?1????????， ?025M1??001M33?????所以(x1,x2,x3)= (33,-82,154).

4. R3中的基?1,?2,?3到基?1???2,1,3?,?2???1,0,1?,?3???2,?5,?1?的过渡矩阵为 . ??2?1?2???2?1?2?????解 因为(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?10?5?, 所以过渡矩阵为?10?5?.

?31?1??31?1?????5. 正交矩阵A的行列式为 . 解 ATA?E?A?1?A??1.

6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.

7.已知?1??2,1,1,1?,?2??2,1,a,a?,?3??3,2,1,a?,?4??4,3,2,1?不是R4的基且a?1,则a满

2足 .

4解 四个四维向量不是R的一组基的充要条件是?1,?2,?3,?4?0, 则a?1或1. 2 故答案为a?1. 2二、单项选择题

1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). （A） V1??x1,0,?,0,xn?x1,xn?R （B） V2?（C） V3?????x,x,?,x?12nx1?x2???xn?0,xi?R? x1?x2???xn?1,xi?R?

??x,x,?,x?12n(D) V4???x1,0,L,0,0?x1?R?

解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选（C）.

?1???22.在P3?3中,由A???生成的子空间的维数为（ ）. ?3???(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ?1???2?生成的子空间的维数是向量组A的秩, 故选（A）. 解 向量组A=??3???3.已知?1,?2,?3是R3的基,则下列向量组( )是R3的基.(A) ?1??2,?2??3,?3??1 (B)?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 (C) ?1??2,?2??3,?1?2?2??3 (D) ?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3

?101???（?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1）=(?1,?2,?3) ?220?, 解 因 ( B )选项中?033????101??? 又因?1,?2,?3线性无关且?220?可逆， 所以?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1线性无关.

?033???故选（B）.

4.已知?1,?2,?3是R3的基,则下列向量组（ ）不是R3的基.(A) ?1??2,?2??3,?1??3 (B) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (C) ?1??2,?2??3,?1??3 (D) ?1?2?2,?2?2?3,?1?2?3解 因 (?1??2)?(?2??3)?(?1??3)?0, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选（C）. 5．n元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r, 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).

(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s

6. 已知A, B为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA （k为数） 解 A, B为同阶正交矩阵?AB(AB)T?ABBTAT?AAT?E 故选（C）. 7. 线性空间中，两组基之间的过渡矩阵（ ）.

(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选（B）

(B)

1．已知R4的两组基 （Ⅰ）： ?1,?2,?3, ?4

（Ⅱ）：?1??1??2??3??4,?2??2??3??4,?3??3??4,?4??4 ( 1 )求由基（Ⅱ）到（Ⅰ）的过渡矩阵； ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.

解 （１）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 已知

?1?1(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)??1??1011100110??0?, 0??1?所以由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵为

?100??110???0?11??00?10??0?. 0??1?C?1（2）设在两组基下有相同坐标的向量为?, 又设?在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下的坐标均为

(x1,x2,x3,x4), 由坐标变换公式可得