12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，
P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 3616C．＋＝1 4924答案 C
1
解析 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|＝|FF′
2|知，∠FPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′|－|PF|
2
2
2
2
2
x2x2
y2y2
B．＋＝1
4015D．＋＝1 4520
x2x2
y2y2
＝10－6＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a＝49，于是
b＝a－c＝7－5＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C．
4924
22222
x2y2
x2y2
13．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，
ab∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案
3 3
解析 设|PF2|＝m，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴2a＝3m,2c＝3m，∴C的离心率为e＝＝ca3. 3
14．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第
3620一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.
答案 (3，15)
x2y2
解析 设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x(x＋4)＋y＝64，?22
?xy22
＋4)＋y＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得?x2y2
3620＋＝1，??3620
2
2
?x＝3，
解得?
?y＝±15.
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．
15．(2019·浙江高考)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若
95线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案
15
x2y2
解析 如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．
线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2. 在△FF′P中，OM所以PF′＝4.
根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6， 所以PF＝2. 又因为FF′＝4， 所以在Rt△MFF′中，
1
PF′， 2
MF′FF′2－MF2
tan∠PFF′＝＝＝15，
MFMF即直线PF的斜率是15.
x2y2
16．(2020·南充模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(3，0)，A为椭圆Cab的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且·＝0，＝3，则椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为________．
答案
bax2
8222
＋y＝1 (x－2)＋y＝ 45
解析 如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ.
∵·＝0，即AP⊥AQ， 1
∴|AT|＝|PQ|.
2又＝3， ∴|OT|＝|PQ|. ∴
|AT|1b1
＝，即＝. |OT|2a2
2
2
由已知得半焦距c＝3，∴a＝4，b＝1， 故椭圆C的方程为＋y＝1.
4又|AT|＋|OT|＝4， ∴|AT|＋4|AT|＝4，
25210
∴|AT|＝，r＝|AP|＝. 55822
∴圆A的方程为(x－2)＋y＝. 5
2
2
2
2
x2
2
x2y2
17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的
ab点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，故C的离心率为e＝＝3－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 1yyxy|y|·2c＝16，·＝－1，2＋2＝1， 2x＋cx－cab即c|y|＝16，①
2
2
cax2＋y2＝c2，② x2y2
＋＝1.③ a2b2
b4
由②③及a＝b＋c得y＝2. c2
2
2
2
16
又由①知y＝2，故b＝4.
2
2
ca222
由②③及a＝b＋c得x＝2(c－b)，
c2
2
2
2
所以c≥b，从而a＝b＋c≥2b＝32，故a≥42. 当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．
18．(2019·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点
54为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
222222
x2y2
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