π
(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
4(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l. 解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)． π
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
4∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x－10x－15＝0.
105
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
93∴|AB|＝2·(x1＋x2)－4x1x1 ＝2×
22
?10?2＋4×5＝165. ?9?39??
2
2
2
2
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k)x－10kx＋5k－20＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 10k5k－20
则x1＋x2＝2，x1x2＝2.
4＋5k4＋5k设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线， ∴
－y1y02y1＝，∴y0＝. 3－x12x1－3
2y12k(x1－1)
－y2＝－k(x2－1) x1－3x1－3
2
2
而y0－y2＝＝
3k(x1＋x2)－kx1x2－5k x1－3
2
2
10k5k－203k·2－k·2－5k4＋5k4＋5k＝＝0.
x1－3∴直线BN∥x轴，即直线BN⊥l.
x2y2
19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点A(2,1)．
ab(1)求椭圆C的方程；
(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
解 (1)因为椭圆C的焦距为26，且过点A(2,1)， 41
所以2＋2＝1,2c＝26.
ab又因为a＝b＋c，由以上三式解得a＝8，b＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1.
82
(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2， 则y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.
22222
x2y2
y＝kx＋m，??22由?xy＋＝1，??82
2
2
消去y并整理，得
(4k＋1)x＋8kmx＋4m－8＝0， －8km4m－8则x1＋x2＝2，x1x2＝2.
4k＋14k＋1因为kAP＋kAQ＝0，所以2
2
y1－1y2－1
＝－， x1－2x2－2
化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0. 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0. 2k(4m－8)8km(m－1－2k)
所以－－4m＋4＝0， 22
4k＋14k＋1整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0. 因为直线l不经过点A， 1所以2k＋m－1≠0，所以k＝.
21
所以直线PQ的斜率为定值，该值为. 2
2
x2y2
20．(2019·天津高考)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的
ab短轴长为4，离心率为
5. 5
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在
y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝＝2，c＝1.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
54
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，
ca5222
，又a＝b＋c，可得a＝5，b5
x2y2
y＝kx＋2，??22
因为B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立，得?xy＋＝1，??54
整理得(4＋5k)x＋20kx＝0， 20k可得xP＝－2，
4＋5k8－10k代入y＝kx＋2得yP＝2，
4＋5k2
2
2
yP4－5k2
进而直线OP的斜率为＝. xP－10k2
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
k由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.
24－5k?k?由OP⊥MN，得·?－?＝－1，
－10k?2?242
化简得k＝，
5230
从而k＝±. 5
230230
所以直线PB的斜率为或－.
55
2
k
相关推荐：
loading