第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质

第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质

一、选择题

1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )． A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 答案 B

2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 由面面垂直的判定定理，知m⊥β?α⊥β. 答案 B

3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 A．PA＝PB＝PC B．PA⊥BC，PB⊥AC

C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等

D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等 解析 条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B. 答案 B

4. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在

( )．

A．直线AB上 C．直线AC上

B．直线BC上 D．△ABC内部

( )．

解析 由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．

答案 A

5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ( )． A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α B．若m?α，n?β，m⊥n，则n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

解析 与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C. 答案 C

6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有 ( )．

A．AH⊥△EFH所在平面 C．HF⊥△AEF所在平面

B．AG⊥△EFH所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面

解析 折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH， ∴AH⊥面HEF. 答案 A 二、填空题

7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．

解析 折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直． 答案 垂直

8．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β.给出下列命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β. 其中正确命题的序号是________．

解析 由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m?m?α或m∥α，又m?β，所以α，β可能平行或相交，故④错误． 答案 ①③

9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的个数是________．

解析 如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，

PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.

同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC. 答案 3个

10. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________．

解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确． 答案 ①②③ 三、解答题

11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上． (1)求证：AC⊥平面BB1C1C；

(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证：A1C∥平面AB1D. 解析 (1)∵B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴B1D⊥AC.

又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D， ∴AC⊥平面BB1C1C.

(2)

AB1⊥BC1

1

?

AC⊥BC? AB与AC相交?

1

≠?

BC1⊥平面AB1C?

??BC1⊥B1C，

B1C?平面AB1C?

∴四边形BB1C1C为菱形，

∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点． 连接A1B，与AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A1C， ∴A1C∥平面AB1D.

12． 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：B1D1∥平面A1BD； (2)求证：MD⊥AC；

(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

(1)证明 由直四棱柱，得BB1∥DD1， 又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形， ∴B1D1∥BD.

而BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD， ∴B1D1∥平面A1BD.

(2)证明 ∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴BB1⊥AC.

又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D. 而MD?平面BB1D，∴MD⊥AC. (3)解 当点M为棱BB1的中点时，