第10课时 “杨辉三角”与
二项式系数的性质
1.学生发现规律,了解“杨辉三角”,熟练掌握二项展开式的通项公式. 2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用. 3.理解二项式系数的性质.
观察下面的三角形相邻两行数:
请根据上述规律写出下一行的数值.
问题1:从上述杨辉三角中你发现的规律是对称性, 二项式系数有哪些性质? (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 . (2)增减性与最大值:二项式系数
,当r<时,二项式系数是递增的;当r>时,二项式系数是递减的.当
n是偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值.
当n是奇数时,中间两项 和 相等,且同时取得最大值. (3) (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即 .
(4)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 . 问题2:二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tr+1=数.
问题3:二项式定理的应用
(1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求 等.
(2)展开式的应用:利用展开式可证明与二项式系数有关的等式;可证明不等式;可证明整除问题;可做近似计算等.
问题4:二项式系数与项的系数不同,在求某几项的系数的和时注意 法的应用.
an-rbr中,就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关,而Tr+1项的系数是指化简后字母外的
1.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ).
A.10 B.20 C.30 D.120
2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是( ).
A.15x2 B.20x3
C.21x3
D.35x3
3.(1+x)3(1+)3的展开式中的系数是 .
4.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5对一切x∈R都成立,其中a0,a1,a2,…,a5为实常数,求a4的值.
赋值法求展开式各项系数的和
已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7,求a0+a1+a2+…+a6+a7的值.
用二项式定理求三项式的展开式的项 (++)5的展开式整理后的常数项为 .
与二项式定理中展开式系数有关的综合题
已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中系数最大的项.
已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7,求a1+a3+a5+a7的值.
求(x+-2)5展开式中的常数项.
已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求(1-2x)n展开式中系数最大项.
1.(1-x)9的展开式中,系数最大的项是( ).
A.第4项 C.第6项
B.第5项
D.第5项和第6项
2.(2x-1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为( ).
A.C. B.
D.-
3.在(x2+3x+2)5的展开式中,x的系数为 .
4.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,当a0+a1+a2+…+an=254时,求n的值.
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