.. . .. . .
复合函数的求导规则
规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：
，其中u为中间变量
例题：已知，求
解答：设,则可分解为,因此
注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。
例题：已知，求
解答：
反函数求导法则 根据反函数的定义，函数
为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数
的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：
定理：若是单调连续的，且，则它的反函数在点x可导，且有： 注：
通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
即： 例题：求
是对y求导，
的导数.
，故
则：
是对x求导
解答：此函数的反函数为
例题：求的导数.
S. . . . . ..
.. . .. . .
解答：此函数的反函数为
，故
则：
高阶导数
我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：
，而加速度a又是速度v对
时间t的变化率，即速度v对时间t的导数： 阶导数。下面我们给出它的数学定义：
定义：函数
的导数
，或。这种导数的导数叫做s对t的二
仍然是x的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数，
记作或，即：或.相应地，把的导数叫做函数的一
阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.
分别记作：，，…，或，，…，
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。
例题：已知例题：求对数函数
，求
解答：因为的n阶导数。
=a，故
=0
解答：，，，，
一般地，可得隐函数及其求导法则
我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0S. . . . . ..
.. . .. . .
在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！
隐函数的求导
若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：
的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数
，用复
a)：若方程F(x,y)=0，能化为b)：若方程F(x,y)=0，不能化为合函数求导法则进行。
例题：已知，求
解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导， ，
，故=
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数
，在x=0处的导数
解答：两边对x求导，故，当x=0时，y=0.故。
有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法
对数求导法
对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
例题：已知
x＞0，求
此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下 解答：先两边取对数：
，把其看成隐函数，再两边求导
S. . . . . ..
.. . .. . .
因为，所以
例题：已知，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导
解答：先两边取对数再两边求导
因为，所以
函数的微分
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：看出，△A分成两部分，第一部分
是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分
薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当
。从上式我们可以即图中的黑色部分，
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：
由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义： 函数微分的定义：设函数在某区间有定义，x0及x0+△x在这区间，若函数的增量可表示为是不依赖于△x的常数，
是△x的高阶无穷小，则称函数
在点x0可微的。
叫做函数
，其中A在点x0
S. . . . . ..
.. . .. . .
相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：
通过上面的学习我们知道：微分
=
。
是关于△x的高阶无穷小量，我
是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差
们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为： ，现在我们可以发现，
它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
微分形式不变性
什么是微分形式不边形呢？ 设
，则复合函数
的微分为：
由于
，故我们可以把复合函数的微分写成
的微分dy总可以用
，
由此可见，不论u是自变量还是中间变量， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：已知
，求dy
与du的乘积来表示，
解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则
通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数
的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？ 下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式与微分的运算法则
基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，下面我们用
把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)
导数公式 微分公式 S. . . . . ..
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