?AEC??BAD??BCA. 又?CAE??ADB, 所以?ABC??ACE??DBA, 于是
ACABAECEACCE?,??. 两式相乘, 并注意到AC?DA', 得. 而AEACDABAADDA'?ACE??ADA', 所以?ACE??ADA', 则?CAE??DAA', 故?CAM??DAB.
例1.4 在?ABC中, AB?AC, D,E,F分别为直线BC,AB,AC上的点, 且
DE//AC, DF//AB, M为?ABC的外接圆上
?的中点. 求证: MD?EF. (伊朗国家队选BC拔考试, 2005)
证明: 如图所示, 因AB?AC, DF//AB, 所以CF?DF. 又四边形EAFD显然为平行四边形, 则AE?DF?CF. 于是, 设?ABC的外心为O, 作旋转变换R(O,2?CBA)(其中,
?CBA表示始边为射线BC, 终边为射线BA的有向角), 则C?A,A?B, 且F?E, 所以OE?OF. 因此, 设EF的中点为N, 则ON?EF.
另一方面, 因四边形EAFD是平行四边形, 所以N也是AD的中点. 又
?的中点, 所以AM为?ABC的外接圆的直AB?AC, M为?ABC的外接圆上BC径, 从而O为AM的中点, 故ON//MD. 于是由ON?EF, 即知MD?EF.
1.2 相似变换
在一个几何变换f下, 若对于平面上任意两点A,B, 以及对应点A',B', 总有A'B'?kAB(k为非零实数), 则称这个变换f是一个相似变换. 非零实数k叫作相似比, 相似比为k的相似变换记为H(k).
显然, 相似变换既改变图形的相对位置, 也改变图形的大小, 但不改变图形的形状. 当k?1时, H(1)就是合同变换. 讨论相似变换时, 常讨论位似变换、位似旋转变换以及位似轴反射变换.
(一) 位似变换
设O是平面上一定点, H是平面上的变换, 若对于任一双对应点A,A', 都有OA'?kOA(k为非零实数), 则称H为位似变换. 记为H(O,k), O叫作位似中
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心, k叫作相似比或位似系数. A与A'在O点的同侧时k?0, 此时O为外分点, 此种变换称为正位似(或顺位似); A与A'在O点的两侧时k?0, 此时O为内分点, 此种变换称为反位似(或逆位似).
显然, 位似变换是特殊的相似变换. 有此问题借助于位似变换求解比相似变换更简洁.
例1.5 设?ABC的内切圆与边BC,CA,AB分别切于点D,E,F. 求证: ?ABC的外心O, 内心I与?DEF的垂心H三点共线. (第12届伊朗数学奥林匹克, 1995; 第97届匈牙利数学奥林匹克, 1997; 第51届保加利亚数学奥林匹克, 2002)
证法一: 如图(1)所示, 设?ABC的内切圆半径与外接圆半径分别为r,R, R?k?r. 作位似变换H(I,?k), 设?DEF??D'E'F',
?(不则D'I?R. 再设?ABC的外接圆上的BC含点A)的中点为M, 则OM//D'I且
OM?D'I, 所以四边形OMID'是平行四边
形, 于是D'O//IM, 注意到A,I,M共线, 所以D'O//AI. 又AI?EF, 所以
D'O?EF. 但EF//E'F', 从而D'O?E'F'. 同理, E'O?F'D', 所以O是?D'E'F'的垂心, 因此H?O. 故H,I,O三点共线, 且
HIr?. IOR证法二: 如图(2)所示, 设直线DH,EH,FH分别与?ABC的内切圆交于另一点P,Q,R, 则
?DEF的三边分别垂直平分HP,HQ,HR, 所以
DQ?DH?DR, 由此可知QR//BC. 同样地,
RP//CA, PQ//AB, 因此?ABC与?PQR是位似的. 而O,I分别是?ABC与
?PQR的外心, I,H分别是?ABC与?PQR的内心, 故O,I,H三点共线, 且HIr?. IOR
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(二) 位似旋转变换
具有共同中心的位似变换H(O,k)和旋转变换R(O,?)复合便得位似旋转变换S(O,?,k), 即S(O,?,k)?H(O,k)?R(O,?)?R(O,?)?H(O,k).
例1.6 设圆T1与圆T2交于A,B两点, 一直线过点A分别与圆T1、圆T2交于另一点C和D, 点M,N,K分别是线段CD,BC,BD上的点, 且MN// BD, MK//
?(不含BC. 再设点E,F分别在圆T1的BC?(不含点A)上, 且点A)上和圆T2的BDEN?BC, FK?BD. 求证: ?EMF?90?.
(第43届IMO预选题, 2004; 第22届伊朗数学奥林匹克, 2004)
证明: 如图所示, 设圆T1与圆T2的半径分别为r1,r2, r1?k?r2, 作位似旋转变换S(B,k,?DBC), 因割线CD过两圆的另一个交点, 所以D?C. 设
K?K',F?F', 则K'在BC上, F'在圆T1上, 且F'K'?BC, K'CKDMDNB???, 所以, K'C?BN. BCBDCDBC设F'K'的延长线交圆T1于L, 则有?EBN??BF'K', 而?BF'K'??BFK, 于是?EBN??BFK. 又?BKF,?ENB皆为直角, 因此?BFK??EBN. 但由
MN// BD, MK// BC知, 四边形MNBK是平行四边形, 所以,
BK?MN,BN?MK. 于是, 易知?MNE??FKM, 因此?MEN??FMK. 再注
意到EN?BC,FK?BD, 即知EM?MF.
(三) 位似轴反射变换
就目前的情况来看, 位似轴反射变换的应用似乎尚不及其他几种几何变换. 但作为一种不可或缺的几何变换, 应该有其广泛的用武之地. 实际上, 对于梯形、圆内接四边形、对角线等问题, 都有可能用得上位似轴反射变换.
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例1.7 已知圆内接凸四边形ABCD, F是AC与BD的交点, E是AD与BC的交点, M,N分别是AB和CD的中点. 求证:
MN1ABCD?|?|. (第46届保加利亚数学EF2CDAB奥林匹克(第3轮), 1997)
证明: 如图所示, 设AB?k?CD, 以E为位似中心, k为位似比作位似轴反射变换, 使C?A,D?B. 设F?F1, 则
EF1?k?EF. 同样地, 如果以k?1为位似比作位似轴反射变换, 使A?C,B?D. 设F?F2, 则EF2?k?1?EF, 且F1,F2都在EF关于?AEB的平分线对称的直线上, 所以
|F1F2|?|EF1?EF2|?|k?k?1|?EF
另一方面, 由?ABF??DCF, ?BAF1??DCF知?ABF??BAF1, 从而
?ABF??BAF1, 所以四边形AF1BF是一个平行四边形, 因此M是FF1的中点. 同理, N是FF2的中点. 于是MN?11F1F2?|k?k?1|?EF, 故 22MN11ABCD?|k?k?1|?|?| EF22CDAB1.3 反演变换
设O是平面?上一定点, 对于?上任意异于点O的点A, 有在OA所在直线上的点A', 满足OA?OA'?k?0, 则称法则I为平面?上的反演变换, 记为
I(O,k). 其中O为反演中心或者反演极, k为反演幂; A与A'在点O的两侧时k?0, 否则k?0; A与A'为此反演变换下的一对反演点(或反点), 显然A与A'互为反点(但点O的反点不存在或为无穷远点); 点A集的像A'集称为此反演变换下的反演形(或反形).
由于k?0时的反演变换I(O,k)是反演变换I(O,|k|)和以O为中心的中心对称变换的复合, 我们只就k?0讨论反演变换即可. 令r?k, 则OA?OA'?r2. 此时, 反演变换的几何意义则可知如图所示, 并称以O为圆心, r为半径
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