的圆为反演变换I(O,r2)的基圆.
由此几何意义, 我们可作出与AA'垂直的过A的直线l及过A'的直线l'的反形分别为下图中的圆c'及圆c, 反之以OA,OA'为直径的圆c, 圆c'的反形分别为直线l',l.
由反演变换(k?0)的定义及几何意义, 即推出反演变换有下列有趣性质: 性质1 基圆上的点仍变为自己, 基圆内的点(O除外)变为基圆外的点, 反之亦然.
性质2 不共线的任意两对反演点必共圆, 过一对反演点的圆必与基圆正交(即交点处两圆的切线互相垂直).
性质3 过反演中心的直线变为本身(中心除外), 过反演中心的圆变为不过反演中心的直线, 特别地过反演中心的相切两圆变为不过反演中心的两平行直线; 过反演中心的相交圆变为不过反演中心的相交直线.
性质4 不过反演中心的直线变为过反演中心的圆, 且反演中心在直线上射影的反点是过反演中心的直径的另一端点; 不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆, 特别地, (1) 以反演中心为圆心的圆变为同心圆; (2) 不过反演中心的相切(交)圆变为不过反演中心的相切(交)圆; (3) 圆(O1,R1)和圆(O2,R2)若以点O为反演中心, 反演幂为k(k?0), 则R1?k?R2k?OO2, . OO?12222|OO2?R2||OO2?R2|性质5 在反演变换下, (1) 圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变; (2) 共线(直线或圆)点(中心除外)的反点共反形线(圆和直线), 共点(中心除外)线的反形共发形点.
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例1.8 设M为?ABC的边BC的中点, 点P为?ABM的外接圆上?AB(不含点M)的中点, 点Q为?AMC的外接圆上
?AC(不含点M)的中点. 求证: AM?PQ. (第57届波兰数学奥林匹克, 2006)
证明: 如图所示, 以M为反演中心、
MB为反演半径作反演变换, 则B,C皆为
自反点, 直线AM为自反直线. 设A的反点为A', 则A'在直线AM上, 且
?ABM的外接圆的反形为直线A'B, ?AMCd的外接圆的反形为直线A'C, 点P的反点P'为直线PM与A'B的交点, 点Q的反点Q'为直线QM与A'C的交点, 直线PQ的反形为?MP'Q'的外接圆. 因MP,MQ分别平分?AMB和?AMC, 所以, MP'?MQ', 且
A'P'MA'MA'A'Q'??? P'BMBMCQ'C从而P'Q'//BC. 设A'M与P'Q'交于N. 因M是BC的中点, 所以N是P'Q'的中点. 再注意MP'?MQ'即知N为?MP'Q'的外心, 这说明直线A'M与?MP'Q'的外接圆正交, 因此直线AM与PQ正交, 即AM?PQ.
2 范例选讲
2.1 合同变换
例2.1 设?ABC是一个正三角形, A1,A2在边BC上, B1,B2在边CA上,
C1,C2在边AB上, 且凸六边形A1A2B1B2C1C2的六边长都相等. 求证: 三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点. (第46届IMO, 2005)
?????证明: 如图所示, 作平移变换T(B1A2), 则
B1?A2, 设B2?K, 则A1A2?B1B2?KA2, 且?KA2A1?60?, 所以?KA1A2是正三
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角形, 因此KA1?A1A2?C1C2, 且由?A2A1K?60???CBA知, KA1//C1C2, 所以
C1C2A1K是平行四边形, 于是C1K?C2A1?B2C1, 又B2K?B1A2?B2C1, 所以?KB2C1也是正三角形.
于是, 由B2KA2B1是平行四边形, ?KA1A2与?KB2C1都是正三角形可知,
?A1A2B1??C1B2B1. 同理, ?B1B2C1??C1C2A1, 所以
?AB2C1??BC2A1??CA2B1
再注意?B2AC1??C2BA1??A2CB1, B2C1?C2A1?A2B1即得
?AC1B2??BAC12??CB1A2
进而可知?AC1B1??BAC11??CB1A1, 所以?A1B1C1是正三角形. 于是
A1B1?AC1?B2C1, 因此A11, 又B2B1B2是B1C1的垂直平分线, 从而A1B2通过?A1B1C1的中心O, 同理B1C2,C1A2都通过?A1B1C1的中心O. 故A1B2,B1C2,C1A2三线共点.
实际上, 在本题中, ?A2B2C2也是正三角形, 且?A1B1C1、?A2B2C2、?ABC这三个正三角形的中心都是点O.
例2.2 在凸四边形ABCD中, 对角线BD既不平分?ABC, 也不平分?CDA, 点P在四边形的内部, 满足?PBC??DBA,
?PDC??BDA. 证明: 四边形ABCD内接于圆的充
分必要条件是PA?PC. (第45届IMO, 2004)
证明: 如图所示.
必要性. 设四边形ABCD内接于圆. 以AC的垂
直平分线为反射轴作轴反射变换, 设B?B',D?D', 则B',D'都在圆上, 且
CB'?AB,CD'?AD, 所以?B'DC??ADB??PDC, 这说明B',P,D三点共线.
同理, D',P,B三点共线, 所以点P是B'D与BD'的交点, 因而P在反射轴上, 即
P在AC的垂直平分线上, 故PA?PC.
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充分性. 设PA?PC. 分别延长BP,DP与?BCD的外接圆交于点D',B', 则有?PB'C??DB'C??DBC??ABP, ?PD'C??BD'C??BDC??ADP,
?BPD??B'PD'. 因B,B',D,D'四点共圆, ?PBD??PB'D', 所以
?PBD??PB'D'. 又CB'D'??CBP??DBA, ?B'D'C??PDC??ADB, 因此
?CB'D'??ABD, 从而四边形ABPD?四边形CB'PD'. 但PC?PA, 所以
四边形ABPD?四边形CB'PD'. 这说明四边形ABPD与四边形CB'PD'关于?BPB'的平分线互相对称. 而B,B',C,D',D共圆, 所以B',B,A,D,D'共圆, 即
A,B,B',C,D',D六点共圆. 故四边形ABCD内接于圆.
例2.3 设H为?ABC的垂心, D,E,F为?ABC的外接圆上三点, 且
AD//BE//CF, S,T,U分别为D,E,F关于边BC,CA,AB的对称点. 求证:
S,T,U,H四点共圆. (中国国家队选拔考试, 2006)
证明: 我们先证明如下引理: 设O,H分别为?ABC的外心和垂心, P为
?ABC的外接圆上任意一点, P关于BC的中点的对称点为Q, 则直线AP关于OH的中点对称的直线是QH的垂直平分线.
引理的证明. 事实上, 如右图所示, 过A作
?ABC的外接圆的直径AA', 则A'与?ABC的垂心H也关于BC的中点对称, 所以QH//A'P且
QH?A'P. 又A'P?AP, 因此QH?AP. 设D,N分别为AP,QH的中点, 则A'P?2OD, QH?2NH, 于是OD//NH且OD?NH. 而AP?OD, 故直线AP关于OH的中点对称的直线是QH的垂直平分线.
回到原题. 如下图所示, 过得D作BC的平行线与?ABC的外接圆交于另一点P. 由AD//BE//CF易知PE//CA, PF//AB. 因PD//BC, S是点D关于BC的对称点, 所以点P关于BC的中点的对称点是S. 于是, 设?ABC的外心为O,
OH的中点为M, 作中心对称变换C(M), 由引理可知, 直线AP的像直线是HS 12 / 22
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