的性能也能提高一倍。据此他提出了轰动世界的Moore定律，预测这种增长趋势会一直延续下去。
下面给出Moore数据，如表 1所示：
ti（年） ki（增长倍数） 1959 1 1962 3 1963 4 1964 5 1965 6 表 1 Moore数据
画出相应的散点图如图 1所示：
65.554.543.532.521.511959196019611962196319641965
图 1 Moore数据散点图
表 1中第二行数据为芯片上晶体数目在不同年代与1959年时的数目比较的倍数，通过观察k与t中间大致呈线性关系，如图 1所示。据此导出了著名的Moore定律。
通过以上的分析，可设
K?t??a?bt 2.21 将表 1中的数据代入式（2.21）的超定方程组
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ki?a?bti，i?1,2,3,4,5
其中，t表示时间，k表示增长倍数，a,b为待定系数。
若将表 1中的数据代入式（2.21），得线性方程组
?a?1?a?1?? ?a?1?a?1???a?195b9?196b2?396b3?4 2.22 96b4?596b5?6方程组（2.22）是一个朝顶方程组，在这五个线性方程中，任意两个联立求解可得到十组不同的解。即是说该方程组不存在通常意义上的解。
现将线性方程组（2.22）写出矩阵形式Ax?y,其中
?1?1?A??1??1??11959?1962???，x??a,b?T，y?(1,3,4,5,6)T 1963?1964??1965?此超定方程组五常义解，即是说不存在x*?R2使得Ax*?y，但是该超定方程组存在最小二乘解，也就是说存在x*?R2，使得Ax*?y2达到最小，并且x*是线
性方程组
ATAx*?ATy 2.23 的解。我们称式（2.23）为法方程组，在本例中它是一个二阶线性方程组，即
9813??a*??19??5?981319259015??*???37307? ???b???解这个方程组得
x*?a*,b*由此得到Moore公式
?????1625.5503,0.8302?.
TTK?t???1625.5503?0.8302t.
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需要说明的是，对于K?t?，显然K?ti??ki?i?1,2,3,4,5?，但是根据曲线拟合的最
小二乘原理，从整体趋势上使偏差达到最小，此处的偏差
??K?t??k?iii?152?0.1887，这个
值已经很小了、满足要求。
2.3 总结归纳求解步骤
下面我们就以上摩尔（Moore）预测公式实例总结利用最小二乘曲线拟合原理求解实际问题的步骤：
（1）分析数据，根据散点图设定拟合函数
K?t??a?bt
（2）代入数据得到超定方程组
a?bti?ki，i?1,2,3,4,5
该超定方程组的矩阵形式为Ax?y，其中
?1?1?A??1??1??1t1??1?1t2???t3???1??t4??1t5??1??1959?1962??1963?，
?1964?1965??TTTx??a,b?，y??k1,k2,k3,k4,k5???1,3,4,5,6?.
（3）如表 2所示，建立法方程组ATAx?ATy.
ti 1959 1962 1963 ki 1 3 4 tiki 1959 5886 7852 ti2 3837681 3849444 3853369 第 11 页 共 26 页
1964 1965 5 6 9820 11790 3857296 3861225 ?ti?15i?9813 ?ti?15i?19 ?tkii?15i?37307 ?ti?152i ?19259015表 2
据表 2中计算结果得
??mATA??5?t?i??i?1?t?i?9813??5i?1???5?, 9813192590152???ti??i?1?TT5ATy???ki,?tiki???19,37307?
其中m为实测数据组数。 （4）解法方程组得拟合参数向量
x*?a*,b*并据此得到拟合曲线函数
?????1625.5503,0.8302?TT
K?t???1625.5503?0.8302t
（5）通过将所得的拟合函数曲线与原始数据散点图进行同坐标对比或计算总体趋势上的偏差值检验拟合函数的精度。
3 基于MATLAB的最小二乘曲线拟合
3.1 MATLAB软件介绍
MATLAB是matrix和laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为
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