2015年高考数学考前专题训练—数列2

50．(陕西20)（本小题满分12分）已知数列{an}的首项a1?22an，an?1?，n?1,2,3,?． 3an?1（Ⅰ）证明：数列{1n（Ⅱ）数列{}的前n项和Sn． ?1}是等比数列；

anan

数列专项训练参考答案

一、选择题1 C, 2 C, 3 B, 4 B, 5 B , 6 A, 7 B , 8 A, 9 C, 10 B 11．C 12．C 13．B

214．D 15．C 16．A 17．A 18．D 19．D 20．C 二、填空题21. a?n?7n?18n2n（n∈N） 22.978 23. 1 24.2?() 25．27 26． 27．22

n?2n*

n189328．1

三、解答题 29. 证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a2?a1a4，而?an?是等差数列，有

213

2即a1a2?a1?d，a4?a1?3d,于是 (a1?d)2?a1(a1?3d)，?2a1d?d2?a12?3a1d，

化简得 a1?d

（2）解：由条件S10?110和S10?10a1?10?9d，得到10a1?45d?110，由（1），a1?d，

2代入上式得55d?110，故 d?2，an?a1?(n?1)d?2n，n?1,2,3,? 30. （1）?xn?成等比数列且xn?1,设公比为q,则q?0 yn?1?yn?2logaxn?1?2logaxn?2logaxn?1. ?2logaq常数 ∴?xn?成等差数列xn(2)y4?17,y7?11 ∴3d=－6 d=－2 y1?23

?yn?前n项和Sn?y1?n(n?1)d?33n?n(n?1)??n2?24n 2当n=12时，Sn有最大值144. ∴?yn?前12项和最大为144.

31.(Ⅰ）解：设数列{an}公差为d，则 a1?a2?a3?3a1?3d?12,又a1?2,d?2.所以

an?2n.

（Ⅱ）解：令Sn?b1?b2???bn,则由bn?anxn?2nxn,得

Sn?2x?4x2??(2n?2)xn?1?2nxn,xSn?2x2?4x3???(2n?2)xn?2nxn?1,②

①

当

x?12n时

n?1，①式减去②式，得

(1?x)Sn?2(x?x??x)?2nxn2x(1?xn)??2nxn?1,

1?x 所以S?2x(1?x)?2nx. 当x?1时, Sn?2?4???2n?n(n?1)

n2n?1(1?x)1?x综上可得当x?1时,Sn?n(n?1)；当x?1时，S?2x(1?x)?2nx.

n2nn?1(1?x)1?x32. 设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n； 设方案二第n个

半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n； (1)在该公司干10年(20个半年)，方

14

案1共加薪S10=a1＋a2＋??＋a10=55000元。 方案2共加薪T20=b1＋b2＋??＋b20=20×300＋20?(20?1)?300=63000元；

2(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为： Sn=a1＋a2＋??＋an=1000×n＋n(n?1)2

?1000=500n＋500n 222

T2n=b1＋b2＋??＋b2n=2n×300＋2n?(2n?1)?300=600n＋300n 令T2n≥Sn即：600n＋

22

300n>500n＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。 ∴如果干3年以上(包括3年)应选择

第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案。

1122

33. （I）a2=a1+(－1)=0,a3=a2+3=3. a4=a3+(－1)=4, a5=a4+3=13, 所以，a3=3,a5=13.

(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－

1)

k－1

,

k

k－1

??a3－a1=3+(－1). 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+?+(a3－a1)=(3+3

1)+(－1)

k

k－1

+?+3)+[(－

+?+(－1)], 由此得a2k+1－a1=

3k1k

(3－1)+[(－1)－1],于是22a2k+1=3k?12?1(?1)k?1. 2kkkk－1kk

a2k= a2k－1+(－1)=3?1(－1)－1+(－1)=3?1(－1)=1 王新敞2222{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an=3n2n?122?(?1)n?12?1?1; 当n为偶数时，231an??(?1)2??1.

22n34. 1) P1(?1,0) ∴a1??1,b1?0,a2??1?1?0 ∴b2?2,b2?b1?2

an?a1?(n?1)?1??1?n?1?n?2,bn?b1?(n?1)?2?2n?2

(2) 若k为奇数 则f(k)=ak?k?2 f(k+5)=bk?5?2k?8 2k+8=2k－4－2 无解：这样的k不存在

若k为偶数 则f(k)=2k－2 f(k+5)=k+3 k+3=4k－4－2 q=3k k=3(舍去) 无解 （3）p1pn?(n?2?1,2n?2)?(n?1,2n?2) p1pn1p1p222?(n?1)2?4(n?1)2?5(n?1)2

?1p1p32?????1p1pn2?15?1?111?1111?????????2?2?????2?25?11?22?3(n?2)(n?2(n?1)??115

=

1?1? n?2,n?1?1 ?1?1?1? 1?1???55?n?1??25235．解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则：?2(1?2d)?q解得：d??3,q??2

?482?1?2d?q∴S10551?q1031(2?2)?10a1?45d??,T10?b1?81?q32

?S13?S6?a7?a8???a13?7a10?0?a2?8d?04836．解：(1)由题意：?∴?d?(?3,?) ?17?S14?S6?a7?a8???a14?4(a10?a11)?0?2a2?17d?0 （2）由（1）知，a10＞0,a10+a11＜0,∴a10＞0＞a11，又公差小于零，数列{an}递减，所以{an}的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。 ∴n=10时，Sn最大。

37．解：设该等比数列为{an}，且公比为q 若q=1，则Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故q≠1。

?1?qnSn?a1?80两式相除，得1+qn=82，qn=81，∴a1??1?qq?1?2n?S2n?a11?q?6560?1?q??1

q=a1+1＞1，数列{an}为递增数列，前n项中最大的项为an=a1qn-1=a1?81?54 解得：

qa1=2,q=3

38．证明：由题意：t?an?2tSn即2tSn?t?an

当n=1时，2tS1?t?a1?t?S1,?(S1?t)2?0,S1?t

当n≥2时，2tSn?t?an?t?Sn?Sn?1?(Sn?t)2?(Sn?1)2?0

(Sn?Sn?1?t)(Sn?Sn?1?t)?0。因为{an}为正项数列，故Sn递增，

(Sn?Sn?1?t)?0不能对正整数n恒成立， ∴Sn?Sn?1?t即数列{Sn}为等差数

列。公差为t

Sn?S1?(n?1)t?nt,?Sn?tn2，an?t?2tSn?2nt,?an?(2n?1)t

所以数列{Sn}为等差数列，{an}通项公式为an=(2n-1)t及前n项和Sn=tn2。

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