数分总复习1-多元微分

练 习 题

1. 求下列极限:

3xy+x2y2

(1)lim;x→1x+yy→2

(3)lim

sin[3(x+y)]

;22x→0x+yy→0

2

2

(2)limarcsinx2+y2;x→0

y→12(4)lim2?xy+4.x→0xyy→0

2. 求下列函数的偏导数:

(1)z=x3y?y2x+2;(2)z=(x+y)sin(x?y); y(3)u=(1+xy)z;(4)z=lnsin+5;

x

x2?y2

3. 设f(x,y)=ln2,求fx(2,1)及fy(2,1)。

x+y2

?2z?2z?2zy

: 4. 求下列函数z=x的二阶偏导数2,2,

?x?y?x?y

5. 求下列各函数的全微分:

yxx(2)z=e;(3)u=arcsin(x2+y2+z2); (1)z=xy+;

y

?z?z

6. 设z=u2v?uv2,而u=xcosy,v=xsiny,求,.

?x?y

x?z?z

7. 设z=u2lnv,而u=,v=xsiny,求,.

y?x?y

dz

8. 设z=ex?2y,而x=sint、y=t3,求.

dt

9. 求下列隐函数的导数：

dy

(1)siny+ex?xy2=0，求；

dx

?z?z

(2)x+2y+2z?2xyz=0，求,。

?x?y10. 求曲线x=t,y=t2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程:

11. 求下列曲面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程:

12. 求曲面x2+y2+z2=1上平行于平面x?y+2z=0的切平面方程。

13. 求函数z=3x2y?xy3+8在点A(1,2)处沿A点到点B(3,0)的方向的方向导数.

14. 求函数U=f(x,y,z)=xy2+yz3+3在点P0(2,?1,1)处的梯度及其在点P0处沿

G

向量l={1,2,2}的方向的导数.

15. 求下列函数的极值:

(1)z=3xy?x3?y3； (2)z=x2+(y+1)2； (3)z=4(x?y)?x2?y2。

16. 求下列函数在所给条件下的极值:

z=x+y,若x2+y2=1.

x2

17. 在旋转椭球面+y2+z2=1上,求距平面3x+4y+12z=288为最近和最远

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的点.