【金版教程】2014届高考数学总复习 2.9 函数的模型及其应用限时规
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训
练
理
新
人
教
A
版
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·滨州月考]有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费，由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为( )
A. 3.71元 C. 4.24元 答案：C
解析：∵m＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式，得f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 2. 某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )
A. 25元 C. 15元 答案：D
解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．
3. [2013·哈尔滨模拟]将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为( )
8
A. 8 C. 12 答案：B
B. 10 D. 15
ntB. 3.97元 D. 4.77元
B. 20.5元 D. 12.5元
aa5n1a15nntnt解析：由已知条件可得ae＝，e＝.由ae＝，得e＝，所以t＝15，m＝15－5
2288
＝10.
4. 某工厂需要建一个面积为512 m的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为( )
A. 1
B. 2
2
1
C. 2答案：B
3D. 2
解析：设宽为x，长为kx，则kx＝512， 512256
用料为y＝(k＋2)x＝(2＋2)x＝2(＋x)≥
2
xx4
256
·x＝64(当x＝16时取“＝”)
x512
所以k＝2＝2.
x5. [2013·佛山模拟]根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)
??为f(x)＝?c??A，x≥Ac，x (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装 第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( ) A. 75,25 C. 60,25 答案：D 解析：(回顾检验法)∵B. 75,16 D. 60,16 cc＝15，故A>4，则有＝30，解得c＝60，A＝16，将c＝60，A2A＝16代入解析式检验知正确．故选D. 6. [2013·绵阳质检]将长度为2的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为( ) 4 A. π＋47C. π＋4答案：D 解析：设铁丝分成的两段长分别为x，y(x>0，y>0)，x＋y＝2.面积之和为S＝()＋ 412 π()＝x＋2π16 2 5 B. π＋48D. π＋4 x2 y－x4π 2 π＋42118＝x－x＋，当S取得最小值时，x＝. 16ππππ＋4 二、填空题 7. [2013·常州模拟]里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最 大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 答案：6 10000 解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝10同理5级地震最大振幅A5＝10，所以9级地震的最大振幅是5级的10000倍． 8. [2013·金版原创]某电脑公司2011年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2013年经营总收入要达到1690万元，且计划从2011年到2013年每年经营总收入的年增长率相同，则2012年预计经营总收入为________万元． 答案：1300 400132 解析：设年增长率为x，则有×(1＋x)＝1690,1＋x＝，因此2012年预计经营总 4040013 收入为×＝1300万元． 40 9. [2013·苏州质检]某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________． 答案：180 20－xy－8 解析：依题意知：＝， x24－y5 即x＝(24－y)， 4∴阴影部分的面积 2 6, S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)， ∴当y＝12时，S有最大值为180. 三、解答题 10. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． 10 (1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得 5454 Q0＝5log2，解得Q＝10， 10 即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入公式得 Qv＝5log2＝5log28＝15(m/s)， 即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 11. [2013·珠海段考]某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km. (1)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？ (2)如果某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？ 解：(1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km付费10(元)，3 km到18 km付费(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)． 设付车费y元，当0 故y＝?x＋7， 3 ??2x－11， x>18. 8010 (2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km. 12. [2013·淮北模拟]一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至12少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. 42 (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 110 解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 2110 即(1－x)＝， 21 解得x＝1－(). 2 (2)设经过m年剩余面积为原来的2， 2 则a(1－x)＝ m2 a， 2 11m1即()＝()，＝， 22102解得m＝5， 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
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