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专题23.1 圆锥曲线的综合问题（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中定点问题的求解方法
圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清．
【典例1】（2019年高考北京卷理）已知抛物线C：x2=?2py经过点（2,?1）． （1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=?1分别交直线
OM,ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
2【典例2】（2019·安徽高三月考（理））已知点A,B是抛物线C:y?2px(p?0)上关于轴对称的两点,点
E是抛物线C的准线与x轴的交点.
（1）若VEAB是面积为4的直角三角形,求抛物线C的方程； （2）若直线BE与抛物线C交于另一点D,证明：直线AD过定点.
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【规律方法】
圆锥曲线中定点问题的两种解法
热门考点02 圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中定值的求解方法
圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果(题中未告知,可用特殊值探路求之),解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现．
x2y2【典例3】（2019·湖北高三月考）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点F1,F2,M是椭圆上
ab任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,且?MF1F2的周长为4?22．
（1）求椭圆C的方程； （2）设直线l是圆O：x?y?224上动点P?x0,y0??x0?y0?0?处的切线,l与椭圆C交与不同的两点3Q,R,证明：?QOR的大小为定值．
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x2y2【典例4】（2020·浙江高三月考）已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的焦距为23,且过点A(2,0)．
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值,并求出该定值．
【总结提升】
1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
2.两种解题思路
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：其解题流程为：
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热门考点03 圆锥曲线中的最值与范围问题
与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强,解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围,方程中变量的范围,角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来,再对表达式进行讨论,应用不等式、三角函数等知识求最值,在解题过程中注意向量、不等式的应用．
【典例5】（2019年高考全国Ⅱ卷理21）已知点A(?2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?
12.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程,并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G. （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.
2【典例6】（2019·四川高三月考（理））已知抛物线x?8y,过点M的直线与抛物线交于A,B 两点,（0，4）又过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于P点. （1）证明：直线PA,PB的斜率之积为定值； （2）求△PAB面积的最小值
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