专升本高等数学集及答案
题
习第一章 函数
一、选择题
1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数
A. y?tanx?x B. y?x
2C. y?(x?1)?(x?1) D. y??sin2x
x2. 下列各组中，函数f(x)与g(x)一样的是【 】
A. f(x)?x,g(x)?3x3
B.f(x)?1,g(x)?sec2x?tan2x
x2?1C. f(x)?x?1,g(x)? D. f(x)?2lnx,g(x)?lnx2
x?13. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】
A. y?x+arctanx B. y?cosx
C. y?arcsinx
y?x?sinx
D.
4. 下列函数中，定义域是[??,+?],且是单调递增的是【 】 A. y?arcsinx B. y?arccosx C. y?arctanx D. y?arccotx 5. 函数y?arctanx的定义域是【 】
A. (0,?)
??C. [?2,2]
?? B. (?2,2)
D. (??,+?)
6. 下列函数中，定义域为[?1,1]，且是单调减少的函数是【 】
A. y?arcsinx B. y?arccosx C. y?arctanx D. y?arccotx 7. 已知函数y?arcsin(x?1)，则函数的定义域是【 】
A. (??,??) B. [?1,1] C. (??,?) D. [?2,0]
8. 已知函数y?arcsin(x?1)，则函数的定义域是【 】
A. (??,??) B. [?1,1] C. (??,?) D. [?2,0] 9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数
A. f(x)?lnx2和 g?x??2lnx B. f(x)?x和g?x??x2 C. f(x)?x和g?x??(x)2 D. f(x)?sinx和g(x)?arcsinx 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】
f(x)?cosx B. f(x)?arccosx A.
C. f(x)?tanx D. f(x)?arctanx 11. 反正切函数y?arctanx的定义域是【 】
A. (???,) B. (0,?) 22C. (??,??) D. [?1,1] 12. 下列函数是奇函数的是【 】
A. y?xarcsinx B. y?xarccosx C. y?xarccotx D. y?x2arctanx 13. 函数y?5lnsin3x的复合过程为【 A 】
A.y?5u,u?lnv,v?w3,w?sinx B.y?5u3,u?lnsinx C.y?5lnu3,u?sinx D.y?5u,u?lnv3,v?sinx
二、填空题
1. 函数y?arcsin?arctan的定义域是___________. 2.
x5x5f(x)?x?2?arcsinx的定义域为 ___________. 3x?1的定义域为 ___________。 34. 设f(x)?3x,g(x)?xsinx,则g(f(x))=___________. 5. 设f(x)?x2,g(x)?xlnx,则f(g(x))=___________. 6. f(x)?2x,g(x)?xlnx,则f(g(x))=___________. 7. 设f(x)?arctanx,则f(x)的值域为___________. 8. 设f(x)?x2?arcsinx,则定义域为 . 9. 函数y?ln(x?2)?arcsinx的定义域为 .
10. 函数y?sin2(3x?1)是由_________________________复合而成。
3. 函数f(x)?x?2?arcsin
第二章 极限与连续
一、选择题
1. 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的【 】
A. 充分必要条件 B. 充分条件
C. 必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件 2. 函数f(x)在点x0处有定义是它在点x0处有极限的【 】
A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件
C. 充分必要条件
kxx?0 D. 无关条件
3. 极限lim(1?x)?e2，则k?【 】
A. 2 B. ?2 C. e?2 D.
e2
4. 极限limsin2x?【 】
x??xA. 2 B. ? C. 不存在 D.
1xx?0 0
5. 极限lim(1?sinx)?【 】
A. 1 B. ? C. 不存在 D. e
x2?16. 函数f(x)?2，下列说法正确的是【 】.
x?3x?2A. x?1为其第二类间断点 B. x?1为其可去间断点
C. x?2为其跳跃间断点 D. x?2为其振荡间断点 7. 函数f(x)?x的可去间断点的个数为【 】. sin?xA. 0 B. 1 C. 2 D. 3
x2?18. x?1为函数f(x)?2的【 】.
x?3x?2A. 跳跃间断点 B. 无穷间断点
C. 连续点 D. 可去间断点 9. 当x?0时，x2是x2?x的【 】
A. 低阶无穷小 B. 高阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价的的无穷小 10. 下列函数中，定义域是[?1,1],且是单调递减的是【 】
A. y?arcsinx B. y?arccosx C. y?arctanx D. y?arccotx 11. 下列命题正确的是【 】
A. 有界数列一定收敛 B. 无界数列一定收敛
C. 若数列收敛，则极限唯一
D. 若函数f(x)在x?x0处的左右极限都存在，则f(x)在此点处的极限存在
12. 当变量x?0时，与x2等价的无穷小量是【 】
A . sinx B. 1?cos2x C. ln?1?x2? D. e2x?1
x2?213. x?1是函数f(x)?的【 】.
x?1A. 无穷间断点 B. 可去间断点
C.跳跃间断点 D. 连续点 14. 下列命题正确的是【 】
A. 若f(x0)?A，则limf(x)?A
x?x0
B. 若limf(x)?A，则
x?x0f(x0)?A
C. 若limf(x)存在，则极限唯一
x?x0 D. 以上说法都不正确
15. 当变量x?0时，与x2等价的无穷小量是【 】
A. tanx B.1?cos2x C. ln?1?x2? D.
x2+116. x?0是函数f(x)?的【 】.
1?cos2xA. 无穷间断点 B. 可去间断点
e2x?1
C. 跳跃间断点 D. 连续点 17. f(x0+0)与f(x0?0)都存在是f(x)在x0连续的【 】
A. 必要条件 C. 充要条件
B. 充分条件 D. 无关条件
18. 当变量x?0时，与x2等价的无穷小量是【 】
A. arcsinx B . 1?cos2x C. ln?1?x2? D.
e2x?1
x2?119. x?2是函数f(x)?2的【 】.
x?3x?2A. 无穷间断点 B. 可去间断点
C. 跳跃间断点 D. 连续点 20. {un}收敛是{un}有界的【 】
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 无关条件 21. 下面命题正确的是【 】
A. 若{un}有界，则{un}发散 B. 若{un}有界，则{un}收敛 C. 若{un}单调，则{un}收敛 D. 若{un}收敛，则{un}有界 22. 下面命题错误的是【 】
A. 若{un}收敛，则{un}有界 C. 若{un}有界，则{un}收敛 23. 极限lim(1?3x)x?【 】
x?01 B. 若{un}无界，则{un}发散 D. 若{un}单调有界，则{un}收敛
A.? B. 0 C. e?3 D. e3 24. 极限lim(1?3x)x?【 】
x?01A.? B. 0 C. e?3 D. e3 25. 极限lim(1?2x)x?【 】
x?02A.e4 B. 1 C. e?2 D. e?4
x?x326. x?1是函数f(x)?2的【 】
x?x?2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点 x?x327. x??2是函数f(x)?2的【 】
x?x?2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点 x2?428. x??2是函数f(x)?2的【 】
x?x?2A. 连续点 B. 可去间断点 C.无穷间断点 D. 跳跃间断点
29. 下列命题不正确的是【 】
A. 收敛数列一定有界
B. 无界数列一定发散 D. 有界数列一定收敛
C. 收敛数列的极限必唯一
x2?130. 极限lim的结果是【 】
x?1x?1A. 2 B. ?2 C. 0 D.不存在
131. 当x→0时, xsin是【 】
x确
sinx的【 】. xA. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D.无穷间断点
A. 无穷小量 B.无穷大量 C. 无界变量 D. 以上选项都不正32. x?0是函数f(x)?(?1)n33. 设数列的通项xn?1?,则下列命题正确的是【 】
nA. ?xn?发散 B. ?xn?无界 C. ?xn?收敛
D. ?xn?单调
增加
x2?x34. 极限lim的值为【 】
x?1xA. 1 B. ?1 C. 0 D. 不存在
35. 当x?0时,x?sinx是x的【 】
A. 高阶无穷小 B. 同阶无穷小,但不是等价无穷小 C. 低阶无穷小 D. 等价无穷小
136. x?0是函数f(x)?的【 】. x1?eA. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点
37. 观察下列数列的变化趋势，其中极限是1的数列是【 】
nxn?A. B. xn?2?(?1)n
n?111 C. xn?3? D. xn?2?1
nnx
38. 极限lim的值为【 】
x?0x
A. 1 B. ?1 C. 0 D. 不存在 39. 下列极限计算错误的是【 】
A. limsinxx??x?1 B. limsinxx?0x?1
C. lim(1x???11x)x?e D. lim(1x?0?x)x?e
x?1是函数f(x)?x?x240.x2?x?2的【 】.
A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 点
41. 当x??时，arctanx的极限【 】
A.??2 B.??
?2
C.?? D.不存在
42. 下列各式中极限不存在的是【 】
A. limx3?x?7x???x?1?2 B. limx2?1 x?12x2?x?1C. sin3xxlim??x D. lim1x?0?x2?x?cosx
43. 无穷小量是【 】
A.比0稍大一点的一个数 B.一个很小很小的数 C.以0为极限的一个变量 D. 数0
44. 极限lim(1?x)1xx?0?【 】
A.? B. 1 C. e?1 D. e
45. x?1是函数f(x)?x2?1x?1的【 】.
A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点连续点
?46. x?0是函数f(x)???xsin1x?0的【 ?x】 ?1?exx?0A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 间断点 47. limx1x?0sinx的值为【 】 D. 跳跃间断
D. D. 无穷 A. 1 B. ? C. 不存在 D. 0
48. 当x??时下列函数是无穷小量的是【 】
x2?sinxx?cosxsinx1 A. B. C. D. (1?)x
xxxx?x2?1x?049. 设f(x)??，则下列结论正确的是【 】
?2x?1x?0
A.f(x)在x?0处连续 B.f(x)在x?0处不连续，但有极限 C.f(x)在x?0处无极限 D.f(x)在x?0处连续，但无极限
二、填空题
1. 当x?0时，1?cosx是x2的_______________无穷小量.
2. x?0是函数f(x)?sinx的___________间断点. x3.
1lim(1?)2x?___________。 x?0x4. 函数f(x)?arctan1的间断点是x=___________。 x?1x2(ex?1)?___________. 5. limx?0x?sinx?sinx,x?0?6. 已知分段函数f(x)??x连续，则a=___________.
??x?a,x?07. 由重要极限可知，lim?1+2x??___________.
x?01x
?sinx,x?0?8. 已知分段函数f(x)??2x连续，则a=___________.
??x?a,x?01x)?___________. 9. 由重要极限可知，lim(1?x???2x?sin?x?1?,x?1?10. 知分段函数f(x)??x?1连续，则b=___________.
?x?b,x?1?11. 由重要极限可知，lim(1?2x)?___________.
x?01x
12. 当x→1时，x?3x?2与xlnx相比，_______________是高阶无穷小量.
321??13. lim?1??n??2n??2n?5=___________.
(x?1)214. 函数f(x)?2的无穷间断点是x=___________.
x?2x?315. limtan2x=___________.
x?03x3n?51??16. lim?1??n??2n??=___________.
(x?1)217. 函数f(x)?2的可去间断点是x=___________.
x?2x?31?cosx=___________.
x?0x22n?53??19. lim?1?=___________. ?n??2n??18. limx2?120. 函数f(x)?2的可去间断点是x=___________.
x?3x?421. 当x?0时，sinx与x相比，_______________是高阶无穷小量. 1??1?22. 计算极限lim??n??n??2n?23=___________.
?2x?1,x?023. 设函数f?x???，在x?0处连续, 则a?__________
?x?a,x?024. 若当x?1时, f(x)是x?1的等价无穷小, 则limf(x)?_______ .
x?1(x?1)(x?1)?1?25. 计算极限lim?1??=__________.
x???x?x
?ex,26. 设f(x)???x?a,x?0, 要使f(x)在x?0处连续, 则a= . x?0.4x?527. . 当x→0时，x?sinx与x相比， 是高阶无穷小量.
1??1?28. 计算极限lim??x??x?1??= .
?x2?2,29. 为使函数f(x)???x?a,x?0在定义域内连续，则a= . x?030. 当x→0时，1?cosx与sinx相比，_________________是高阶无穷小量. 31. 当x→0时，4x2与sin3x相比，_______________是高阶无穷小量.
32. 当x→1时，?x?1?与sin?x?1?相比，__________________是高阶无穷小
量.
k??1???e3，则k=___________. 33. 若lim?x??x??x2
34. 函数f(x)?x?1的无穷间断点是x=___________. 2x?3x?4x2?1?135. 极限lim=______________.
x?0x36. 设f?x??xsin,求limf?x?=___________.
x??2x??cosx,x?037. 设函数f(x)??在x?0处连续，则a=___________.
??a?x,x?038. x?0是函数f(x)?点. 39. 函数f(x)?xsinx的 x （填无穷、可去或跳跃）间断
x?1的可去间断点是x=___________.
x2?2x?3?2?40. lim?1???___________
x???x?三、计算题
x3?2x?41. 求极限lim
x?2x2?42. 求极限limcos3x?cos2x 2x?0ln(1?x)23. 4. 5. 6. 7.
(ex?1)求极限lim
x?0xln(1?6x)(ex?1)sinx求极限lim
x?0xln(1?6x)(1?cosx)sinx求极限lim2
x?0xln(1?6x)1?cosx求极限lim
x?0x(e2x?1)1?cosx求极限lim
x?0ln(1?x2)1??2?8. 求极限lim?2? x?1x?1x?1??
第三章 导数与微分
一、选择题
1. 设函数f (x)可导，则limh?0f(x?3h)?f(x)?【 】
h A. 3f?(x) B.
1f?(x) 3x?0C. ?3f?(x) D. ?1f?(x)3
2. 设函数f (x)可导，则lim A. 2f?(1) B.
f(1)?f(1?x)?【 】
2x11C. ?2f?(1) D. ?f?(1) f?(1)
223. 函数y?x在x?0处的导数【 】
A. 不存在 B. 1
4. 设f(x)?e2x，则f???(0)?【 】
C. 0 D. ?1
A. 8 B. 2 C. 0 D. 1
5. 设f(x)?xcosx，则f??(x)?【 】
A. cosx?sinx B. cosx?xsinx C. ?xcosx?2sinx D. xcosx?2sinx
f(x?2h)?f(x)?【 】 6. 设函数f (x)可导，则limh?0h11 A. 2f?(x) B. f?(x) C. ?2f?(x) D. ?f?(x)
227. 设y?sinf(x)，其中f(x)是可导函数，则y?=【 】 A. cosf(x) B. sinf?(x)
C. cosf?(x) D. cosf(x)?f?(x) f(x?2h)?f(x)?【 】 8. 设函数f (x)可导，则limh?0h11 A. 2f?(x) B. f?(x) C. ?2f?(x) D. ?f?(x)
229. 设y?f(arctanx)，其中f(x)是可导函数，则y?=【 】
A. f?(arctanx) B. f?(arctanx)?(1?x2)
f?(arctanx)C. f?(arctanx)?1?x2 D. 21?x10. 设y?f(sinx)，其中f(x)是可导函数，则y?=【 】 A. f?(sinx) B. f?(cosx) C. f?(sinx)cosx D. f?(cosx)cosx
f(x?3h)?f(x)11. 设函数f (x)可导，则lim?【 】
h?02h23 A. 3f?(x) B. f?(x) C. f?(x) D. f?(x)
3212. 设y=sinx，则y(10)|x=0=【 】
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n f(x?4h)?f(x)13. 设函数f (x)可导，则lim?【 】
h?02h A. 2f?(x) B. 4f?(x) 14. 设y=sinx，则y(7)|x=0=【 】
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2n
f(x?4h)?f(x)15. 设函数f (x)可导，则lim?【 】
h?02h A. -4f?(x) B. 2f?(x) C. -2f?(x) D. 4f?(x) 16. 设y=sinx，则y(7)x??C. 3f?(x) D.
1f?(x) 2=【 】
A. 1 B. 0 C. -1 D. 2n
17. 已知函数f(x)在x?x0的某邻域内有定义，则下列说法正确的是【 】 A. 若f(x)在x?x0连续, 则f(x)在x?x0可导
B. 若f(x)在x?x0处有极限, 则f(x)在x?x0连续 C. 若f(x)在x?x0连续, 则f(x)在x?x0可微 D. 若f(x)在x?x0可导, 则f(x)在x?x0连续
18. 下列关于微分的等式中，正确的是【 】
1 A. d()?arctanxdx B. d(2xln2)?2xdx 21?x11 C. d()??2dx D. d(tanx)?cotxdx
xxf(x)?f(0)?sinx?lim?4，则f?(0)?【 】 19. 设 2x?0x4A. 3 B. 4 C. D. 不存在
3
20. 设函数f(x)在x?x0可导，则limh?0
f(x0?2h)?f(x0)?【 】
h A. 2f?(x0) B. f?(x0) C. ?2f?(x0) D. ?f?(x0) 21. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】
A. d(arctanx)?11?x2dx B. d(11x)??x2dx C. dcosx?sinxdx D. d(sinx)?cosxdx 22. 设函数f?x??cosx，则f(6)(0)?【 】
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 23. 设f(x)?ex，则f(1??x)?f(1)?limx?0?x?【 】
A. 1 B. e C. 2e D. e2
24. 设函数f(x)在x?xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?0h?【 】
A. 2f?(x0) B. f?(x0) C. ?2f?(x0) D. ?f?(x0) 25. 下列关于微分的等式中，错误的是【 】
A. d(arctanx)?11?x2dx B. d(1x)??1x2dx C. dcosx?sinxdx D. d(sinx)?cosxdx
26. 设函数f(x)在x?x?(xf(x0?2h)?f(x0)0处可导，且f0)?k，则limh?0h?【 A. 2k B. 112k C. ?2k D. ?2k
27. 设函数f(x)在xf(x0?4h)?f(x0)0可导，则limh?0h?【 】
A. 4f?(x0) B.
14f?(x4f?(x10) C. ?0) D. ?4f?(x0) 28. 设函数f(x)在x0可导且f?(x0)?2，则limf(x0?h)?f(x0?2h)h?0h?【 】
A. -2 B. 1 C. 6 D. 3 29. 下列求导正确的是【 】
A. ?sinx2???2xcosx B. ???????sin4???cos4
C. ?ecosx???ecosx D. ?ln5x???1x
30. 设f?x??xlnx，且f??x0??2，则f?x0?=（ ）。
A. 2e B. e C. e2 D. 1 31. 设y?sinx，则y(8)=【 】
】
A. ?sinx B. cosx C. sinx D. ?cosx 32. 设y?f(x)是可微函数，则df(cosx)?（ ）． A.f?(cosx)dx B.f?(cosx)sinxdx
C.f?(sinx)cosxdx D. ?f?(cosx)sinxdx
633. 已知y?xlnx,则y???【 】
1A. ?5
x4!C. 5
xB.
1 x54!D. ?5
x
二、填空题
12x?1在点(2,3)处的切线方程是_____________. 2x2. 函数y?ln(1?e)的微分dy=_____________.
1. 曲线y?3. 设函数f(x)有任意阶导数且f'(x)?f(x)，则f???(x)? 。 4. 曲线y?cosx在点(5. 函数y?esin2x2?1,)处的切线方程是 。 32的微分dy= dx。
6. 曲线y?xlnx?x在点x?e处的切线方程是_____________. 7. 函数y?x2?1的微分dy=_____________.
1Q2，则Q?900时的边际成本是12008. 某商品的成本函数C?1100?___________.
9. 设函数y?f(x)由参数方程?9?x?cos?dy所确定，则=_____________.
dx?y?sin?10. 函数y?(2x?5)的微分dy=_____________.
11. 曲线f(x)?lnx在点(1,0)处的法线方程是___________. 12. 设函数y?f(x)由参数方程?2?x?acostdy所确定，则=_____________.
dx?y?bsint13. 函数y?lnsinx的微分dy=_____________. 14. 某商品的成本函数C?12Q?20Q?1600，则Q?500时的边际成本是100___________.
15. 设函数y?f(x)由参数方程??x?t?sintdy所确定，则=_____________.
dx?y?1?cost16. 函数y?arctan1?x2的微分dy=_____________.
17. 曲线y?lnx?1在点?e,2?处的切线与y轴的交点是_____________. 18. 函数y?ecos3x?ln2的微分dy=_____________.
19. 曲线y?2lnx?1在点?e,3?处的切线与y轴的交点是_____________. 20. 函数y?esin3x?ln2的微分dy=_____________.
21. 曲线y?2lnx?1在点?1,1?处的切线与y轴的交点是___________.
22x2x22. 函数y?exsin3x?6的微分dy=___________. 23. 已知f?(x0)?1，则limh?02x2f(x0?2h)?f(x0)＝_____________.
3h24. 已知函数y?e，则y????_____________. 25. 函数y?ln(x?1)的微分dy?_____________. 26. 已知函数y?sinx，则y22(6)? .
27. 函数y?xex的微分dy= .
28. 已知曲线y?2?2x?x的某条切线平行于x轴，则该切线的切点坐标
2为 .
29. 函数y?ln(cos2x)的微分dy= .
30. 已知曲线y?f?x?在x?2处的切线的倾斜角为?，则f??2?? . 31. 若y56 32. 函数y?arctan2x的微分dy=______________.
33. 已知函数y?f(x)是由参数方程??x(x?1)(x?2)，则y?(0)? ．
dy?x?acost确定，则?______________.
dx?y?bsint34. 函数y?ln1?x2的微分dy=_____________. 35. 函数y?lnsinx的微分dy=
?x?t?sintdy36. 由参数方程?所确定的函数的导数? ．
dx?y?1?cost
三、计算题
1. 设函数y?xln(1?x2)，求dyx?1
2. 求由方程ex?2y?xy所确定的隐函数y?y?x?的导数y?。
?x?t?1?2y?t?t在t?0相应点处的切线与法线方程. ?3. 求曲线
4. 设函数y?x1?x2，求dy.
yx?y?e?2?0所确定的隐函数，求dy,dyy5. 设是由方程
dxdx
?x?4cost?6. 求椭圆?在t?相应点处的切线与法线方程.
4?y?2sint
7. 设函数y?xarctanx，求dy.
x?0。
xyxy?e?e?0所确定的隐函数，求dy,dyy8. 设是由方程
dxdx
?x?t?sint?9. 求摆线?在t?相应点处的切线与法线方程.
2?y?1?costx?0。
d2y10. 设函数y?ln(x?1?x)，求y?(0)及2.
dx
211. 求由方程y?sin(x?y)所确定的隐函数y的导数
xdy. dxd2y12. 设函数y?sinlnx?e?sin2x，求2
dx13. 求由方程ey?xy?e所确定的隐函数y的导数y?(0).
14. 设函数y?lnx?1?x
15. 求由方程x2?y2?1所确定的隐函数y在x?3处的导数y?(3).
?2?d2y，求2.
dx16. 设函数y?arctan1?x2?cos2x，求微分dy.
17. 设函数y?ln(1?ex)?sin2x，求微分dy..
18. 设函数y?sinx3?1?lne?x,求微分dy.
19. 求由方程ysinx?ex?y?1所确定的隐函数y的导数20. 求由方程ysinx?ex?y
21. 求由方程ycosx?y?ex?y?1所确定的隐函数y的导数
?2ex?1,x?0?22. 设函数f(x)??2在x?0处可导，求b的值.
??x?bx?1,x?02dydy并求dxdxdydy?1所确定的隐函数y的导数并求dxdxx?0. .
x?0dydy并求dxdxx?0.
23. 已知方程sin(xy)?ln(x?1)?lny?1所确定的隐函数y?y(x)，求
24. 已知函数y?arctan1?x2，求函数在x?0处的微分dy
25. 用对数求导法求函数y?xcosx(x?0)的导数.
26. 求由方程xy?e?x?ey?0所确定的隐函数y，求函数在x?0处的微分dy.
27. 设y??f(sin2x)?,其中f是可微函数，求y?
28. 设y?e?2xcos3x,求dy.
29. 求由方程xy?ex?y所确定的隐函数y的导数
dydy,dxdx.
x?1y?1dydxx?0.
230. 求由方程ex?ey?sin?xy?所确定的隐函数y的导数
31. 设函数f(x)?ln(x?1?x2)，求f?(x)和f?(0)
dydy,dxdxx?0.
t??x?2e32. 求曲线?在t?0相应点处的切线方程与法线方程. ?t??y?e33. 已知y是由方程siny?xey?0所确定的隐函数，求y的导数
表示的曲线在点?0,0?处切线的斜率。
34. 设函数y?cos3x?sin3x，求dy.
dy,以及该方程dx四、综合应用题
?x?lnt?2t1. 求?在t?1相应点处的切线与法线方程. 2?y?t?2
?x?lnt?3t2．求?在t?1相应点处的切线与法线方程. 2?y?t?1
?x?lnt?3t3．求?在t?1相应点处的切线与法线方程. t?1?y?e?t
第四章 微分中值定理与导数应用
一、选择题
1. 设函数f(x)?sinx在[0,?]上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的
??【 】
??? C. D. 2342. 下列函数中在闭区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】
1A. lnx B. lnlnx C. D.
lnxln(2?x)
A. ? B.
3. 设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f'(x)?0有【 】
A. 一个实根 C. 三个实根
B. 二个实根 D. 无实根
4. 下列命题正确的是【 】
A. 若f?(x0)?0，则x0是f(x)的极值点 B. 若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0
C. 若f??(x0)?0，则?x0，f?x0??是f(x)的拐点 D. ?0,3?是f(x)?x4?2x3?3的拐点
5. 若在区间I上，f?(x)?0,f??(x)?0,, 则曲线f (x) 在I上【 】
A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧
C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】
A. 若f?(x0)?0，则x0是f(x)的极值点 B. 若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0
C. 若f??(x0)?0，则?x0，f?x0??是f(x)的拐点 D. ?0,3?是f(x)?x4?2x3?3的拐点
7. 若在区间I上，f?(x)?0,f??(x)?0,, 则曲线f (x) 在I上【 】
A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】
A. 若f?(x0)?0，则x0是f(x)的极值点 B. 若x0是f(x)的极值点，则f?(x0)?0
C. 若f??(x0)?0，则?x0，f?x0??是f(x)的拐点 D. ?0,3?是f(x)?x4?2x3?3的拐点
9. 若在区间I上，f?(x)?0,f??(x)?0,, 则曲线f (x) 在I上【 】
A. 单调减少且为凹弧 B. 单调减少且为凸弧 C. 单调增加且为凹弧 D. 单调增加且为凸弧 10. 函数y?x2?5x?6, 在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则?=【 】
15A. 0 B. C. D. 2
2211. 函数y?x2?x?2在闭区间[?1,2]上满足罗尔定理，则?=【 】
1A. 0 B. C. 1 D. 2
212. 函数y?x2?1,在闭区间[?2,2]上满足罗尔定理，则?=【 】
1A. 0 B. C. 1 D. 2
213. 方程x4?x?1?0至少有一个根的区间是【 】
A.(0,1/2) B.(1/2,1) C. (2,3) D.(1,2)
14. 函数y?x(x?1).在闭区间??1,0?上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定
的
?? 【 】
11A. 0 B. ? C. 1 D.
2215. 已知函数f?x??x3?2x在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则
拉格朗日定理成立的?是【 】
111A.? B. C. ? 3331 D. ?
316. 设y?x3?27，那么在区间(??,3)和(1,??)内分别为【 】
A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小
二、填空题
1. 曲线f(x)?x3?3x2?5的拐点为_____________. 2. 曲线f(x)?xe2x的凹区间为_____________。 3. 曲线f(x)?x3?5x2?3x?5的拐点为_____________. 4. 函数y?2x2?lnx的单调增区间是___________. 5. 函数y?ex?x?1的极小值点为_____________.
6. 函数y?2x3?9x2?12x?3的单调减区间是___________. 7. 函数y?2x2?lnx的极小值点为_____________. 8. 函数y?ex?x的单调增区间是___________. 9. 函数y?x?2x的极值点为_____________.
10. 曲线y?x4?2x3?6在区间(??,0)的拐点为_____________. 11. 曲线y?x3?3x2?1在区间(??,0)的拐点为_____________. 12. 曲线y?x3?3x2?6的拐点为___________.
13. 函数y?2x3?6x2?12x?8的拐点坐标为 . 14. 函数y?2x3?3x2在x?_______有极大值．
15. 曲线y?x?arctanx在x?0处的切线方程是___________. 16. 曲线y?3x4?4x3?1在区间(0,??)的拐点为_____________. 17. 过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程是y= ．
三、计算题
111. 求极限lim(?x)
x?0xe?1
11求极限lim(?)x?0xsinx2.
ex?x?13. 求极限lim
x?0ln(1?x2)
4. 求极限lim(x?1x1?) x?1lnx
5. 求极限lim(x?011?) x2xsinx
116. 求极限lim(?x)
x?0xe?1
x?sinx7. 求极限lim x2x?0x(e?1)
四、综合应用题
1. 设函数f(x)?2x3?3x2?4.求
(1)函数的单调区间；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
2. 设函数f(x)?x3?3x2?3.求
(1) 函数的单调区间；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
3. 设函数f(x)?x3?3x2?9x?1.求f(x)在[0,4]上的最值
4. 设函数f(x)?4x3-12x2?3.求
(1)函数的单调区间与极值；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
5. 某企业每天生产x件产品的总成本函数为C(x)?2000?450x?0.02x2，已知
此产品的单价为500元，求： (1) 当x?50时的成本；
(2) 当x?50到x?60时利润变化多少?
(3) 当x?50时的边际利润，并解释其经济意义。
6. 设生产某种产品x个单位的总成本函数为C(x)?900?2x?x2，问：x为多
少时能使平均成本最低，最低的平均成本是多少？并求此时的边际成本，解释其经济意义。
7. 某商品的需求函数为q?300?3p(q为需求量, P为价格)。问该产品售出多
少时得到的收入最大？最大收入是多少元？并求q?30时的边际收入，解释其经济意义。
8. 某工厂要建造一个容积为300m2的带盖圆桶，问半径r和高h如何确定，使
用的材料最省？
19. 某商品的需求函数为Q?10?P(Q为需求量, P为价格).
2 (1) 求P?2时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(2) 当P?3时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
10. 求函数f(x)?excosx在???,??上的最大值及最小值。
12P(Q为需求量, P为价格). 100 (1) 求P?5000时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(2) 当P?5000时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
12. 某商品的需求函数为Q?65?8P?P2(Q为需求量, P为价格).
(1) 求P?5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P?5时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P?5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?
14. 某商品的需求函数为Q?40?2P?P2(Q为需求量, P为价格).
(1) 求P?5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P?5时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P?5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?
11. 某商品的需求函数为Q?80P?
15. 某商品的需求函数为Q?35?4P?P2 (Q为需求量, P为价格).
(1) 求P?5时的边际需求, 并说明其经济意义. (2) 求P?5时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P?5时, 若价格P上涨1%, 总收益将如何变化?
16. 设函数f(x)?4x3-12x2?3.求
(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
17. 设某企业每季度生产的产品的固定成本为1000(元),生产x单位产品的可变
成本为0.01x2?10x(元).如果每单位产品的售价为30(元).试求: (1)边际成本,收益函数,边际收益函数;
(2)当产品的产量为何值时利润最大,最大的利润是多少?
18. 设函数f(x)?x3?3x2?9x?1.求
(1) 函数的单调区间与极值；(2)曲线y?f(x)的凹凸区间及拐点.
19. 求函数f(x)?sinx?cosx在[0,?]上的极值.
20试求f?x??x3?3x的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标．
五、证明题
1. 证明：当0?x???时，arctanx?x。
2. 应用拉格朗日中值定理证明不等式：
b?abb?a当0?a?b时，。 ?ln?baa
3. 设f(x)在[0,1]上可导，且f(1)?0。证明：存在??(0,1)，使
f?(?)??f(?)?0成立。
4. 设f(x)在闭区间[0, ?]上连续，在开区间(0, ?)内可导， （1）在开区间(0, ?)内，求函数g(x)?sinx?f(x)的导数. （2）试证：存在??(0,?)，使 f(?)cot??f?(?)?0. .
5. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0, （1）在开区间(a,b)内，求函数g(x)?e-kx?f(x)的导数.
（2）试证：对任意实数k，存在??(a,b)，使 f?(?)?kf(?).
6. 求函数f(x)?arctanx的导函数，
（2）证明不等式：arctanx2?arctanx1?x2?x1，其中x2?x1.（提示：可以用中值定理）
7. 证明方程x5?3x2?10x?1?0有且只有一个大于1的根.
8. 证明方程x5?4x2?8x?1有且只有一个大于1的根.
9. 证明方程x5?3x2?7x?1有且只有一个大于1的根.
10. 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导，f(a)?f(b)?0,且存在点
c?(a,b)使f(c)?0.证明：至少存在一点??(a,b)，使f??(?)?0.
11. 设f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(0)?0, f(1)?1.
证明: (1) 存在??(0,1), 使得f(?)?1??;
(2) 存在两个不同的?,??(0,1), 使f?(?)f?(?)?1.
12. 设f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(1)?f(2)?0.又
F(x)?(x?1)2f(x).证明：至少存在一点??(1,2)，使F??(?)?0
13. 证明方程x4?x?1?0在(0,1)上有且只有一个根.
14. 证明：当0?x???时，arctanx?x.
15. 设f(x)在(??,??)内满足关系式f'(x)?f(x)，且f(0)?1，则f(x)?ex。
f?x?（提示：设辅助函数F?x??x） e
第五章 不定积分
一、填空题
1. 若F(x)是f(x)的一个原函数, 则【 】
A. ?f(x)dx?F(x)?C B. ?f?(x)dx?F(x)?C C. ?df(x)?F(x)?C D. ?dF(x)?f(x)?C 2. 若?f(x)dx?e2x?x?C, 则f(x)?【 】
A. 2xe2x(1?x) B. 2e2x C. e2x D. 2e2x?1 3. 下列哪个函数不是sin2x的原函数【 】
1A. sin2x B. -cos2x C. -cos2x D. cos2x
2f(x)若?2dx?x2?C, 则f(x)=【 】
x1A. 2x3 B. x2 C. x3 D. 3x3
2f(x)若?dx?x2?C, 则f(x) =【 】
sinx22A. xsinx B. 2xcosx C. 2xsinx D. xcosx
33f(x)若?dx?x2?C, 则f (x)=【 】
cosx22A. xsinx B. 2xcosx C. 2xsinx D. xcosx
33若f(x)?sinx2,则?f?(x)dx?【 】
4.
5.
6.
7.
A. 2x?cosx2 B. sinx2
C. cosx2?C D. sinx2?C 8. 设函数f(x)?3x3?x2，则?f?(x)dx?【 】
A. 9x2?2x B. 9x2?2x?C C. 3x3?x2?C D. 3x3?x2 9.
??x?4x?21dx?【 】
13322?2x?C B.?C C.x2?C D.x2?2x?C A.
332x2x10. sin2xdx?【 】
1A.cos2x?C B.?sin2x?C 21C.cos2x?C D.?cos2x?C
2
二、填空题
1. 设sinx是f(x)的一个原函数，则
2.
?[f(x)+x]dx?_________________________.
若?f(x)dx?F(x)?C，则?ef(e)dx? _________________________。
xx3. [?1dx]'?_________________________. sin2x4. 设F?(x)?f(x)，则?f(x2)?2xdx=__________________. 5. 已知F?(x)?f(x)，则?f(cosx)sinxdx?__________________. 6. 设F?(x)?f(x)，则?f(lnx)dx?__________________. x7. 设f(x)的一个原函数为lnx2,则?f?(x)dx?_________________________. 8. 设f(x)的一个原函数为cosx2,则?f?(x)dx?_________________________.
??_________________________. 9. 设f(x)的一个原函数为xex,则（?f(x)dx）10. 设[lnf(x)]??1,则f(x)? . 21?x211. 已知f(x)?ex,则?f?(x)dx?__________________.
12. 已知f(x)的一个原函数为tanx,则?f(x)f?(x)dx? . 13. ?(ex?x)dx＝_______________________.
(1?x)2dx? ． 14. ?x
三、计算题：
1. 求?arcsinxdx 2. 求?e?xxdx
cosxdx
2sinx?34. 求?xsinxdx
3. 求?5. 求?x?e?xdx
11?(sin+1)dx x2x7. 求?x?e2xdx
6. 求?x?arctanxdx 21?x9. 求?x?cosxdx
8. 求?10. 求?1dx
x1?x11. 求?arccosxdx
1dx
x1?x13. 求?xe3xdx
12. 求?14. 求?xdx 1?x1dx
(x?1)(x?3)1dx 31?x15. 求?x2?sinxdx 16. 求?17. 求?xe?2xdx 18. 求?19. 求?2x?cosxdx
1dx x1?e21. 求?x2lnxdx
20. 求?22. 求?tanxdx 23. 求?arccosxdx. 24. 求?x2lnxdx
cosxdx
2sinx?326. 求?exdx.
25. 求?
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