专题强化训练(十三) 立体几何
一、选择题
1．[2019·南昌重点中学]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为( )
A．13π C．11π
B．12π D．23π
解析：依题意，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，选B.
答案：B
2．[2019·开封定位考试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
1A.3 2C.3 1B.2 D．1
解析：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，其高为1，底面是112
一个等腰直角三角形，所以该几何体的体积V＝3×2×2×2×1＝3，
故选C.
答案：C
3．[2019·安徽示范高中]已知三棱锥P－ABC中，AB⊥平面APC，AB＝42，PA＝PC＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为( )
A．28π C．48π
B．36π D．72π
解析：解法一：因为PA＝PC＝2，AC＝2，所以PA⊥PC.因为AB⊥平面APC，所以AB⊥AC，AB⊥PC，又PA∩AB＝A，所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥PB，则△BCP，△ABC均为直角三角形．如图，取BC的中点为O，连接OA，OP，则OB＝OC＝OA＝OP，即点O为三棱锥P－ABC外接球的球心．在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝42，则BC＝6，所以外接球的半径R＝3，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选B.
解法二：因为PA＝PC＝2，AC＝2，所以PA⊥PC，△ACP为直角三角形．如图，取AC的中点为M，则M为△PAC外接圆的圆心．过M作直线n垂直于平面PAC，则直线n上任意一点到点P，A，C的距离都相等．因为AB⊥平面PAC，所以AB平行于直线n.设直线n与BC的交点为O，则O为线段BC的中点，所以点O到点B，C的距离相等，则点O即三棱锥P－ABC外接球的球心．因为AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，又AC＝2，AB＝42，所以BC＝6，则外接球的半径R＝3，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选B.
解法三：因为PA＝PC＝2，AC＝2，所以PA⊥PC，又AB⊥平面PAC，所以可把三棱锥P－ABC放在如图所示的长方体中，此长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥P－ABC的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体的体对角线的长为6，则外接球的半径R＝3，所以三棱锥P－ABC外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选B.
答案：B
4．[2019·唐山摸底]已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )
π
A．1－4 π
C．2＋4
π
B．3＋2 D．4
解析：由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径
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