江苏省海安、如皋2011届高三期中考试数学

江苏省海安、如皋2011届高三期中考试数学（选修历史）

试题及参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 函数f?x??2sinπx?1的最小正周期是 ▲ .

4A???2．设集合U??x0?x?7，x?Z?，A={2，3，5}，B={1，4}，则?痧UU??B?= ▲ . 3．复数2?i（i是虚数单位）的实部是 ▲ .

1?i4．命题“?x?Q，x2?2?0”的否定是 ▲ . 5．若x??3，则x?2x?3的最小值为 ▲ .

6．设a，b是两个非零实数，且a≠b，给出下列三个不等式：

①a5?b5?a3b2?a2b3；②a2?b2≥2(a?b?1)；③a?b?2.

ba其中恒成立的不等式是 ▲ .（只要写出序号）

37．若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为?，则|a+b|= ▲ . 8. 在等比数列{an}中，a3a8a13=243，则

3

a92a10的值为 ▲ .

??)上是增函数，则m的取值范围是 ▲ . 9. 若函数f(x)?mx2?x?5在??2，10. 某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进

行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：

在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则 输出的S的值是 ▲ .

11. 若正数a，b，c满足a2+2ab+4bc+2ca=16，则a+b+c的最小值是 ▲ .

12. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若m?n，Sm?n2，Sn?m2，则Sm?n? ▲ . 13. 设f(x)是定义在???，2?上的减函数，且f(a2?sinx?1)≤f(a?cos2x)对一切x?R都

成立，则a的取值范围是 ▲ .

14. 设函数f?x???xx2?bx2?c，则下列命题中正确命题的序号是 ▲ . ①当b?0时，f?x?在R上有最大值； ②函数f?x?的图象关于点?0，c?对称； ③方程f?x?=0可能有4个实根； ④当b?0时，f?x?在R上无最大值；

⑤一定存在实数a，使f?x?在[a，??)上单调递减. 【填空题答案】

1．2 2．{6} 3. 3 4．?x?Q，x2?2?0

25. 22?3 6. ② 7.

??4??7 8. 3

9. ?0，1? 10. 6.42 11. 4 12. ?(m?n)2

?1?10?13. ??2，? 14. ①③⑤

?2?二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， （1）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1； （2）求二面角C1—BD—C的正切值．

【证明】（1）因为ABCD—A1B1C1D1是正方体， 所以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD，?????2分

A D B

C

A1 D1 B1 C1

而BD?平面ABCD，于是BD⊥A1A. ??????????4分 因为AC、A1A?平面A1ACC1，AC?A1A?A，所以BD⊥平面A1ACC1. ?????6分 因为BD?平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面A1ACC1. ??????????8分

【解】（2）设AC与BD交于点O，连C1O.

因为C1O、CO?平面A1ACC1，而BD⊥平面A1ACC1， 所以C1O⊥BD，CO⊥BD，

于是?C1OC是二面角C1—BD—C的平面角. ????????? 12分 设正方体的棱长为a，所以CO?tan?C1OC?2. a2?a2a2?2.C1CCO在Rt△C1OC中,

故二面角C1—BD—C的正切值为2． ????????? 14分 16. （本题满分14分）

用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求： （1）3个矩形颜色都相同的概率； （2）3个矩形颜色都不同的概率. 【解】本题的基本事件共有27个.

因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个基本事件是等可能的.

??????????4分

（1）记“3个矩形颜色都相同”为事件A，显然事件A包含的基本事件有3个， 于是P(A)?3?1. ??????????8分

279（2）记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，假设三种颜色分别是a，b，c， 则事件B只有可能是abc；acb；bac；bca；cab；cba，共6个基本事件，

于是P(B)?6?2. ????????? 12分

279【答】3个矩形颜色都相同的概率为1，3个矩形颜色都不同的概率为2.??? 14分

9917. （本题满分14分）

已知函数

(0?x?c)，?cx?1，?满足f(c2)?9f(x)???x82c??1， (c≤x?1)?2．

（1）求常数c的值； （2）解不等式f(x)?2?1． 8【解】（1）由题意知0

所以9?f(c2)?c?c2?1?c3?1，即c3?1，故c?1. ??????????4分

882（2）由（1）得

1?1x?1， (0?x?)，??22 f(x)??1?2?4x?1， (≤x?1).??2 ??????????6分

?12x?1??1，?28解不等式组?得2?x?1.

42?0?x?1?2??4x2?1??1，?28解不等式组?得1≤x?5.

28?1≤x?1?2 ??????????9分

????????? 12分

所以不等式f(x)?

18．（本题满分14分）

2?1的解集为82515??，???，?. ?????? 14分 ?42，1??248?28已知△ABC的面积为93，且AC??AB?CB??18，向量m?(tanA?tanB，sin2C)和

n?(1，cosAcosB)是共线向量.

????????????（1）求角C的大小； （2）求△ABC的三边长.

【解】（1）因为向量m?(tanA?tanB，sin2C)和n?(1，cosAcosB)是共线向量， 所以cosAcosB?tanA?tanB??sin2C?0， ??????????2分 即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0，

化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－2cosC)=0. ??????????4分 因为0?C?π，所以sinC>0，从而cosC?1，C?π. ??????????6分

23（2）18?AC??AB?CB??AC??BC?BA??AC，于是AC?32. ??????8分 因为△ABC的面积为93，所以93?即93?12?32?CBsinπ312CA?CBsinC????????????????????????????2，

，解得CB?62. ????????? 11分

在△ABC中，由余弦定理得

AB?CA?CB?2CA?CBcosC??32???62??2?32?62?222221?54. 2所以AB?36. ????????? 14分