=lim= -1
∴f(0)= -1 例2 当x解：∵
?21?1?2xx?0
?0时，f(x)?sin2x，又f(x)在x=0处连续，求f(0)。
xlimf(x)?limx?0x?0sin2xxsin2x?lim.2?2x?02x∴f(0)=2
例3 当x???时，下列变量中，（ ）为无穷小量。
xsinxx2（Ｃ） （Ｄ）exx?1（Ａ）lnx （Ｂ）解：∵
?1
A.limlnx??,B.limx???2x???sinx?0xC.limx???x??D.lim(ex?1)??x???x?1
答案：（Ｂ） 例４ 当（A）e（C）解：∵
x?0时，下列变量中（ ）为无穷小量。
x?1 （B）cosx
x （D）ln2x
A.lim(ex?1)?0B.limcosx?1x?0x?0C.lim2x?1D.lim?lnx??x?0x?0
答案：（A） 例5 函数
?x2?1x?2f(x)?? 当x?2时，f(x)极限存在，
x?2?x?a则a=_____。
x?2lim?f(x)?lim?(x?a)?2?ax?2解：∵
x?2lim?f(x)?lim?(x2?1)?5x?2
2+a=5 ∴a=3 例6 下列结论正确的是（ ）。
sinx1?1 )?e（B）lim（A）lim(1?x??x?0xxx（C）limxsinx?01?0（D）lim(1?x)x??x1x?e
答案：（C） 例7 设
0?x?2x?1 ，则a=（ ）时，f(x)在x=0处连续。 f(x)??0?x?a?2解：f(0)=1
x?0?x?0limf(x)?lim?(a?2)?a?2x?0lim?f(x)?lim?(2x?1)?1x?0
∴a+2=1 a=-1
(A)0 （B）1 （C）2 （D）-1 答案：（D） 例8 数列1，0，-1，1，0，-1，……（ ）。 （A）收敛于-1 （B）收敛于1 （C）收敛于0 答案：（D） 例9 求极限
x2?5x?61．lim
x?3x?3解：原式
?lim(x?2)(x?3)?lim(x?2)?1
x?3x?3x?32n2?12．lim
x??3n2?2n?3解：原式
2??limx??1n23?23?nn2?2 3x?1x2?1lim(?)12 3．
x?1解：原式
?limx?1?2x?111?lim?lim?
x?1(x?1)(x?1)x?1(x?1)(x?1)x?1x?124．limsin3x
x?0xsin3x.3=3 3x解：原式 =limx?05．lim解：原式
1?cosx 2x?0x2sin2xxsin2?2lim(2)2.1?1
x?0xx24221x?limx?06．lim(1?kx)
x?0解：原式
?lim[1?(?kx)]x?0?1(?k)kx?e?k
7．lim(1?x??2x) xx22?22解：原式=lim(1?)?e
x?0x
x2?5x?68．lim 2x?3x?9解：原式?lim(x?2)(x?3)x?21?lim?
x?3(x?3)(x?3)x?3x?369．limx?01?x?1
x1?x?1x(1?x?1)11?x?11 2解：原式
?lim(1?x?1)(1?x?1)x(1?x?1)x?0?limx?0?limx?0?10．lim(1?x??12x?5) x解：原式
111?lim(1?)2x.lim(1?)5?lim(1?)x.2.1?e2 x??x??x??xxx11．lim2nsinn??x 2n解：原式
sin?limn??x2n.x?x
x2n2x3?112．lim
x??5x2?3解：原式
13x?lim??
x??53?xx32?sin(x2?4)13．lim
x?2x?2解：原式
?lim?lim?4
sin(x2?4)x?4sin(x2?4)x?422x?2.(x?2).lim(x?2)
x?2x?2 三、导数与微分 例1 求曲线y?ex在x=1处的切线 的方程。 解：
y'?ex,y'x?1?e
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