答案：0
例2 设f(x)是[-a,a]上奇函数，则定积分
a??af(x)dx=_______。
答案：0 例3 若
0P(x)??x11?t2dt，则P'(x)=_____。
答案：-
11?x2
例4 设F(x)解：
xe?tdt，则F'(0)=_____。 ??aF'(x)?e?x?F'(0)?e0?1
答案：1
例5 下列定积分值为0的为（ ）。 （A）?2(C) ?2?2xsinxdx (B)?2x2cosxdx
?2352(x3?3x5?1)dx (x?x)dx (D)???22答案：（C）
例6 计算下列定积分
e311．?dx
11?lnx解：原式=
?e311d(lnx)?1?lnxe3?11d(1?lnx)1?lnx
e3?21?lnx?2(1?lne3?1?ln1)?2(2?1)?212、1?0ex1?e dxx
解：原式
x1d(e?1)dexx10??ln(1?e)?ln(1?e)?ln(1?e)?ln(1?e)?ln2 =??01?ex01?ex013．e1?lnx
dx?1x2解：原式=
?e21211182e(1?lnx)d(lnx?1)?(1?lnx)?[(1?lne2)2?(1?ln1)2]?(9?1)??4 222212x4．2dx ?1x?1解：原式=
221(x2?1)?1?1x?1dx??1(x?1)dx??1x?1dx2212?(x?x)?ln(x?1)11221??ln3?ln2213??ln225．?
1xe?xdx 0?x?x解：原式=
11?x?0xd(?e)??xe0??0edx1??e?e?1?x1?12 ?10??[e?e]?1?0ee?6．
?20xsin2xdx
解：原式=
11???2xdcos2x??[xcos2x2??2cos2xdx]0202011????xcos2x2?sin2x2??.cos??0?2444007．设函数
?????
?x
??1f(x)??2??xx?[?1,0)1求? ?1f(x)dxx?(0,1]解：
0x1f(x)dx?(?1)dx???1??12?0xdx 30122213217?(x?x)?x????1304312418．
?1|lnx|dx
ee解：原式=
?lnx lnx?0=?lnx x?1
|lnx|?????lnxlnx?0??lnx0?x?1?1|lnx|dxee
??1(?lnx)dx??lnxdx???1lnxdx??lnxdxe1e11e1e1e111??[xlnx?x]1?[xlnx?x]?1?ln??elne?e?(0?1)
1eeee2?2?e例7 计算下列无穷限积分： 1．
??1?13xxdx
dx?limb???1解：???113?b111b111 dx?lim(?)??lim[?1]?322b???b???x2x12b2 2．???41dx x 解：
???4 b1b1dx?lim?dx?lim2x?lim2(b?2)??
4b???b???4b???xx
此广义积分发散
例8 某企业生产q吨产品时的边际成本为c?(q)?1q?30 50（元/吨），且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低？ 解：总成平均本函数
C(q)??C'(q)dq?C0??(00qqq112q?30)dq?900?(q?30q)?900050100?12q?30q?900100
平均成本函数为
C(q)1900?q?30?q100q
1900c?(q)??2100qc(q)?令c?(q)=0,解得q=300 q=-300(舍去)
因此C(q)仅有一个驻点q=300，由实际问题本身可知c(q)有最小值，故当产量为300吨时，平均成本最低。
例9 已知某商品的边际成本为C’（q）=q(万元/台)，固定成本为C0=10万元，又已知该商品的
2销售收入函数为R(q)=100q（万元），求（1）使利润最大的销售量和最大利润；（2）在获得最大利润的销售量的基础上，再销售20台，利润将减少多少？ 解：（1）总成本函数
C(q)??C'(q)dq?C0??0qq0q1dq?10?q2?10 24又R(q)=100q
利润
1L(q)?100q?(q2?10)4
1?100q?q2?1041L'(q)?100?q
2令L'(q)1=0
?100?q2q0=200唯一）
由实际问题知，唯一极值点q0=200即为最大值点，所以当销售量为200时，利润最大，
最大利润为
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