南京大学2004年量子力学考研题

南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学

一、已知电子质量为?，电子电量为(-e)，回答以下问题：

1) 一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）

2) 五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分） 3) 一个电子处于一维谐振子势场

122??x中运动，其中?是谐振子的本征园频率，x是电子的坐标，2请写出该体系的能级公式。（5分）

4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）

5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分）

e26) 假定氢原子处于基态，求电子势能?的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）

r二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：?(r,?,?)?(ei?sin??cos?)g(r)，其中g(r)仅是径向坐

?z的可?2的可能测量值和相应的几率；标r的函数。1）求角动量平方L（10分）2）求角动量的z分量L能测量值和平均值。（10分）

三、S代表电子的自旋算符，n?(sin?cos?,sin?sin?,cos?)为从原点指向单位球面上(?,?)方向上的

单位向量，其中?是纬度，?是经度。

1) 在(S2,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn（10分） ?n?S的本征值和相应的本征波函数。

2) 假定电子处于Sn的某个本征态，那么测量Sz会得到哪些数值，相应的几率是多少，测量Sz的平

均值又是多少？（10分）

四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为

???2?0s的粒子在一维无限深势阱???0; x?LV(x)??中运动，其中?0和L是正常数，x是粒子的坐标，s是粒子的自旋算符。现在考

????; x?L虑在x?0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在x?0的半空间有一同样大小但沿x方

向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分） 五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势V(r)??C?(r?a)作用，其中C，a为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C的值最小可以取多少？ （30分）

?21六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势V(r)??的散射，其中a是常数。已知

ma2cosh2(r/a)d2y22y?0有解y?e?ikx(tanhx?ik)，在低能极限下，求粒子能量为E时，s分波方程2?ky?2dxcoshx的散射截面及其角分布。（30分）