∴x1x0－2y0－2y1＝0， x2x0－2y0－2y2＝0，
?x＝x1，?x＝x2，∴?和?为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解． ?y＝y1?y＝y2∴直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， ∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1， ?x0x－2y－2y0＝0，联立方程?2
?x＝4y，消去x整理得
2
y2＋(2y0－x20)y＋y0＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得
2y1＋y2＝x0－2y0， 2y1y2＝y0，
∴|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1
2
＝y20＋x0－2y0＋1，
又点P(x0，y0)在直线l上， ∴x0＝y0＋2，
1??222
∴y0＋x0－2y0＋1＝2y0＋2y0＋5＝2?y0＋2??
?
1
∴当y0＝－2时，
9
|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为2. 考点二 抛物线的几何性质
x2y2
1．(2015·天津，6)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) x2y2
A.21－28＝1 x2y2
C.3－4＝1
x2y2
B.28－21＝1 x2y2
D.4－3＝1
29＋2，
x2y2b
解析 双曲线a2－b2＝1的渐近线方程为y＝±ax，又渐近线过点(2，3)，所以
2b
a＝3，即2b＝3a，①
抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7，由已知，得a2＋b2＝7，即a2＋b2＝7②，
x2y2
联立①②解得a＝4，b＝3，所求双曲线的方程为4－3＝1，选D.
2
2
答案 D
2．(2015·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
|BF|－1A. |AF|－1
|BF|＋1C. |AF|＋1
|BF|2－1B. |AF|2－1|BF|2＋1D. |AF|2＋1
S△BCF|BC|xB解析 由图象知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，
S△ACF|AC|xA∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴答案 A
3．(2013·北京，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( ) 4A.3
B．2
8C.3
162D.3
S△BCF|BF|－1
＝.故选A. S△ACF|AF|－1
解析 由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0，1)，
所以直线l的方程为y＝1.
设直线l与抛物线的交点为M、N，
分别过M、N作x轴的垂线MM′和NN′， 交x轴于点M′、N′，如图．
故所求图形的面积等于阴影部分的面积，
2x28
即S＝4－2?4dx＝3，故选C.
0答案 C
4．(2012·四川，8)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( ) A.3
B．23
C．4
D．25
p
解析 由题意知可抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则2＋2＝3，∴p＝2， ∴y2＝4x，∴y20＝4×2＝8， ∴|OM|＝22＋y20＝4＋8＝23. 答案 B
x2y25．(2014·上海，3)若抛物线y＝2px的焦点与椭圆9＋5＝1的右焦点重合，则该
2
抛物线的准线方程为______________．
x2y2p
解析 ∵c＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆9＋5＝1的右焦点为(2，0)，∴2＝2，
2
即p＝4.∴抛物线的准线方程为x＝－2. 答案 x＝－2
6．(2013·浙江，15)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
解析 设lAB：y＝k(x＋1)，与抛物线y2＝4x联立得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ?x1＋x2y1＋y2?Q?，2?， ?2?x1＋x22k2－42－k2
其中2＝－2k2＝k2， y1＋y2k（x1＋x2）＋2k2
＝k，
2＝2
∴|FQ|＝答案 ±1
2－k?
?1－2k?
2
?2?2?2
?＋?－k?＝
???
4（k4－k2＋1）
＝2，解得k＝±1.
k4x2
7．(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝4与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由． 解 (1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)， 或M(－2a，a)，N(2a，a)．
xx2
又y′＝2，故y＝4在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.
x2
y＝4在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)， 即ax＋y＋a＝0.
故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. y1－by2－b
从而k1＋k2＝x＋x
1
2
＝
2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）k（a＋b）
＝. x1x2a
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN， 所以点p(0，－a)符合题意.
相关推荐：
loading