.
（2）数量积的概念
C
rrrrrrrrrr非零向量a与b， a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a与b的数量积（或内积）。规定0?a?0；
rra?brrrr|a|向量的投影：︱b︱cos?=∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
rrrrr（3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.
注意：⑴只要a⊥b就有a·b=0，而不必a=0或b=0．
⑵由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c．得|a|·|b|cosθ
1=|
bca|·|c|cosθ2及|a|≠0，只能得到|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、
θ1θ2c在a方向上投影相等，而不能得出b=c(见图)．
⑶ (a·b)c≠a(b·c)，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷对于向量a、b，有|a·b|≤|a|·|b|，等号当且仅当a∥b时成立． （4）向量数量积的性质
arrr2r2a①向量的模与平方的关系：?a?a?|a|。
②乘法公式成立
?rrrrr2r2r2r2a?b?a?b?a?b?a?b???③向量的夹角：cos?=
（5）两个向量的数量积的坐标运算
rr2r2rrr2r2rrr2a?b?a?2a?b?b?a?2a?b?b；； rrrra?bx1x2?y1y2cos?a,b??rr2222a?bx?y?x?y??=
1122。
rrrrxx?yya?(x,y),b?(x,y)12。 1122，则a·b=12已知两个向量
.
.
rrrrrr0
（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。
????两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0
22222|a|?x?ya?(x,y)|a|?x?y（7）平面内两点间的距离公式设，则或。 22|a|?(x?x)?(y?y)1212 (平面内两点间的距离公式) .
二．【典例解析】
题型一：数量积的概念
例1．判断下列各命题正确与否：
rrrrrrrrrra?0,a?b?a?c（1）0?a?0；（2）0?a?0； （3）若，则b?c；
rrrrrrrr（4）若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立；
rrrrrrrrr（5）(a?b)?c?a?(b?c)对任意a,b,c向量都成立；
题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用 例2
rrrr已知a?2，b?3，a与b的夹角为120o，求rrrrr2r2rrrr（4）a?b（）1a?b；（2）a?b；（3）（2a?b）（?a?3b）；
题型三：向量垂直、平行的判定
例3．已知向量a?(2,3)，b?(x,6)，且a//b，则x? 。 例4．已知
ra??4,3?，
rb???1,2?rrrrrrm?a??b,n?2a?b，按下列条件求实数?的值。 ，
rrrrrr(3)m?n（1）m?n；（2）m//n；。
例5．已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1） 若|c|?25，且c//a，求c的坐标；
.
.
5,（2）若|b|=2且a?2b与2a?b垂直，求a与b的夹角?.
ururururrruruuru???????练习1 若非零向量?、?满足，证明:???
2 在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值
1)，b?(2 , n)，若|a?b|?a?b，则n?（ ） 3．已知向量a?(1 , A．?3 B．?1 C．1 D．3
4.
rrrrrrr已知a?1，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角。
5．知a，b，c为△ABC的三个内角
A，B，C的对边，向量
m?(3，?1)，n?(cosA，sinA)．若m?n，且acosB?bcosA?csinC，则角A，B的
大小分别为（ ） A．
ππ，632ππ，36ππ，36ππ，33 B． C． D．
题型四：向量的夹角
例6已知向量a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?),且a??b，求a?b与a?b的夹角
rrrrrrrrrr0c?2a?b,d?3b?a练习1已知两单位向量a与b的夹角为120，若，试求c与d的夹角。
.
.
2．| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为 A．30° B．60° C．120° D．150°
3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( ) A．150° B．120° C．60° D．30°
（ ）
5
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝2，则a与c的夹角为( ) A．30°或150° B．60°或120° C．120° D．150°
ruuuruuuruuuruuu5.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若AD?xAB，AE?yAC，xy?0，
11?xy的值为（ ） 则
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
11?xy＝3．选B．
解析：取△ABC为正三角形易得
?????4. 设向量a与b的夹角为?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，则cos?? ．
→→→→
5．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则三角形ABC的形状一定是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形 .
6已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中（1）求sin?和cos?的值；
???(0,)2．
sin(???)?（2）若
.
10?,0???102，求cos?的值．
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