.
题型五：求夹角范围
rrrrrrr2|a|?2|b|?0x?|a|x?a?b?0例7已知,且关于x的方程有实根,则a与b的夹角的取值范
围是
???2??[,?][,][,?]A.[0,6] B.3 C.33 D.6
练习1．设非零向量a=?x,2x?，b=??3x,2?，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围 2．已知a?(?,2?)，b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是
????????????eeee|e|?2|e|?12te?7e2与3．设两个向量1、2，满足1，2，1、2的夹角为60°，若向量1??e向量1?te2 的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
与BC 4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ的夹角?取何值时BP?CQ的值最大？并求出这个最大值.
（以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）
题型六：向量的模
C
a
rrrrrrA a?3,a?b?13,boab120例8．已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
0练习1平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于
.
（ ）
.
A.3
B.23
C.4 D.12
???2．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
??????（1）求证：(a?b)⊥c；（2）若|ka?b?c|?1(k?R)，求k的取值范围.
rrrrrrr3．平面向量a,b中，已知a?(4,?3),|b|?1，且a?b?5，则向量b?______.
4．已知|a|=|b|=2，a与b的夹角为600，则a+b在a上的投影为 。
rrrrrrrr|3a?b|? 。
5．设向量a,b满足|a|?|b|?1,|3a?2b|?3，则
rrrrrr|2a?b|?___ ___。 |a|?3,|b|?76．已知向量a,b的方向相同，且，则
7、已知O，N，P在?ABC所在平面内，且
OA?OB?OC,NA?NB?NC?0（ )
，且
PA?PB?PB?PC?PC?PA，则点O，N，P依次是?ABC的
A.重心 外心 垂心
C.外心 重心 垂心
题型七：向量的综合应用
B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心
→→→→
例9．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________．
|a|
练习1．已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则|b|的值为( )
123
A.2 B.3 C．2 D.3
.
.
→→
2．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则OA·AB＝( )
3333
A.2a2 B．－2a2 C.2a2 D．－2a2
→→→→
4．(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|AB|＝3，AP·BC＝－2，则|AC|＝________.
3A3AAA5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(cos2，sin2)，n＝(cos2，sin2)，且满足|m＋n|＝3. (1)求角A的大小；
156．在?ABC中，AB?AC?0，?ABC的面积是4，若|AB|?3，|AC|?5，则
?BAC?( )
?2?3?5?(A)6 (B)3 (C)4 (D)6
7．已知O为原点，点A,B的坐标分别为A(a,0)，B(0,a)，其中常数a?0，点P在线段AB上，且有AP?tAB(0?t?1)，则OA?OP的最大值为（ ）
(A)a (B)2a (C)3a (D)a2
rr33xxa?(cosx,sinx)b?(cos,?sin)22， 22。 8．已知向量
?rrrrx?[0,]2，求a?b,|a?b|； （1）当
3?????f(x)?a?b?2m|a?b|≥2对一切实数x都成立，求实数m的取值范围。
（2）若
.
.
9. 若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则AP?(PB?PD)的取值范围
1是 ．[-2，4]
10. 已知a,b是两个互相垂直的单位向量, 且c?a?1,c?b?1,|c|?2,则对任意的正实数
1|c?ta?b|t,t的最小值是 22 .
各区期末试题
10. 在矩形ABCD中，AB?3，BC?1，E是CD上一
D
E C uuuruuuruuuruuur点，且AE?AB?1，则AE?AC的值为（ ）
19.如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P?是点P关于
P A B AB的对称点，AB?2a(a?0).
uuuruuur?（Ⅰ）当点P是弧AB上靠近B的三等分点时，求AP?AB的
值；
A
O B
uuuruuur（Ⅱ）求AP?OP?的最大值和最小值.
P? uuurCBC=3CD（6）如图所示，点在线段BD上，且，则AD= （ ）
uuuruuuruuuruuurD（A）3AC?2AB （B）4AC?3AB
C.
AB
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