全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2)
三角形的边角性质
内容提要
三角形边角性质主要的有：
1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线
段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
?a?b?c???a,b,c是△ABC的边长??b?c?a??a?b＜c?a?b
?c?a?b???推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180?；任意一个外角等于和它不相邻的两个
内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180?， 五边形内角和=3×180?
六边形内角和=4×180? n边形内角和=(n－2) 180?
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，
△ABC中∠C=Rt∠?a?b?c(勾股定理及逆定理)
222?C?Rt??△ABC中??a：b：c=1：3：2
?A?30??△ABC中
?C?Rt??? a：b：c=1：1：2 ???A?45?例题
例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。 (1988年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组
?3a?1?4a?1?12?a?a?1.5??4a?1?12?a?3a?1 解得??13??1 ∴1.5 A B C D AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A和D重合组成三 角形，下列不等式哪些必须满足？ ① x< zzz, ②y 式组： z?y??2?x?y?x?z?y?2y?z?z????x?z?y?y?x 即?2x?z?2y∴?y?x? 2?y?x?z?y?x?z?2x???z?x??2?答y zz和y<必须满足。 22例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5, b≤a≤c,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。 解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c 它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458； 555，556，557，558，559。 例4. 如图求角A，B，C，D，E，F的度数和 D A 解：四边形EFMN 的内角和=360度 ∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D ∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度 N M ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度 BC21 F E例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围 (1989年泉州市初二数学双基赛题) 解：根据题意，得 ??A??B??C52???得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B) ?2?C?5?A77??A??B??C?180??25????∴(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B) ∴ 40≤∠B≤75 77例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2求各内角的度数 解：作∠BCD的平分线交AD于E， A3△BCE≌△DCE（SAS） ∴∠D＝∠CBE 1 D△BCE≌△BAE（SSS） ∴∠CBE＝∠ABE＝∠D 4B2设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360 C∴X＝40（度） 答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40 ???练习28 1. △ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿ 2. a,b,c是△ABC的三边长，化简(a?b?c)2?(a?b?c)2得＿＿ 3. 已知△ABC的两边长a和b（a 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. 三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长的数字写出这些 三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题） 5. 各边都是整数且周长小于13，符合条件的 ① 不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ② 等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ 7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿ 8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角 （1986年泉州市初二数学双基 赛题） 9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿ （1987年泉州市初二数学双基 赛题） 10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120?，则∠A＝＿＿ 11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40?，点D，E，F分别在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC， 则∠EDF＝＿＿ （1986年泉州市初二数学双基赛题） 12.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度 （1986年泉州市初二数学双基 赛题） 13.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度 14.如图△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，则∠A＝＿＿ EA D56B JDB A72 C1 E34CF 15.如图∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛题） （这里∠AED是指射线EA绕端点E按逆时针方向旋转到ED所成的角） 16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，则∠BAC＝＿＿＿度 （1988年泉州市初二数学双基赛 ?题） 17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60?∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm, 则边AC的长是＿＿cm (1988年泉州市初二数学双基赛题) C C B A E B C D D B A D A AB的值是（ ） BM1123（A） 大于（B）大于（C）大于（D）大于 323418.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中点，则 19不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大 边与最 小边的差大1，则这样的三角形共有＿＿个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（1989年泉州市初二数学双基赛题） 20.菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且△AEF为等边三角形，求∠C的度数。 初中数学竞赛辅导资料(29) 概念的定义 内容提要和例题 1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果， 人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。 2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃， 李，苹果，…… 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。 人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活， 3. 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。 4. 理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面： ① 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵； ② 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。 例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。 又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。 就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。 一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。 5. 概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。 数学概念的基本定义方式是种属定义法。 在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫 种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形） 种属定义法可表示为： 被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差） 例如： 方 程＝等 式＋含未知数 又如： 无理数＝小 数＋无限不循环 或 无理数＝无限小数＋不循环 再如 等腰三角形＝三角形＋有两条边相等 6. 基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概 念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。 不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。 例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。 有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。 7. 概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。 例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。 对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为 ① 有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。 前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。 8. 正确的概念定义，要遵守几条规则。 ①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义） ② 定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来 定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。 ③ 定义用语要简单明确，不要含混不清。 ④ 一般不用否定语句或比喻方法定义。 9. 定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。 例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。 所以由定义可得 等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。 等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。 10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。 例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC 直角三角形，要写出哪个是直角， 在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠ 又如 实数a的绝对值是非负数，记作 a≥0，“≥”读作大于或等于。 11. 运用定义解题是最本质的解题方法 ?a(a?0)?例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示a＝?0(a?0) ??a(a?0)?含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。 ??x?(x?1)(x?0)?如：化简：x?x?1可等于?x?(x?1)(0?x?1) ?x?(x?1)(x?1)?解方程：x?1＝2x+1可化为 当x<-1时， －（x+1）=2x+1； 当x≥－1时， x+1=2x+1。 解不等式 1-x＜2 可解两个不等式组： ?1-x?0?1?x?0 ? ? ?(1?x)?21?x?2?? 练习29 1. 叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示： ①算术平方根 ②开平方 ③三角形的高 ④线段的中垂线 ⑤点到直线的距离 ⑥两点的距离 2. 叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和 “类征”（属差） ①锐角 ②直角三角形 ③平行四边形 ④分式方程 3. 叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延 ① 整式 ②有理方程 ③梯形 ④平行四边形 4. 试用外延法定义下列各概念 ① 实数 ②有理式 ③非负数 5. 写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。 ① 等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ A 如果△ABC中，AB＝BC＝AC，那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 如果△ABC是等边三角形，那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ B C ② 互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③ 三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 判定：如果△ABC中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿ 性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6. 运用定义解题： ① 当a取值为＿＿＿＿时，代数式(a?1)2?a2是二次根式。 ② 当x____时，代数式x?3?3?x有意义 ③ 若最简根式 1y?1x?1与35是同类二次根式，则x=__,y=__. 3m?17m与是同类二次根式，求m的值。 64④ 已知7xn-2my与－3x5y2m-1是同类项，那么 m=___,n=___ ⑤ 已知m是整数，且 ⑥ 已知??x??1是方程ax－3y=5 的一个解，则a=____ ?y??2⑦ 已知2是方程5x2＋kx-6=0的一个解,求k 值及另一个解 ⑧ 已知锐角△ABC中，两条高AD和BE相交于O，求证：∠CAD＝∠CBE ⑨ 解方程 题） ⑩ 解不等式：2x?1＜3 x?x?1?x?1?2 （1990年泉州市初二数学双基赛 1≥5 27.已知方程x＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是（ ） （A）a>-1 (B) a=1 (C) a≥1 （D）非以上答案 （1987年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料(30) 概念的分类 内容提要 1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一 个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类 概念之间的区别与联系。 2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形 可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。 分别表示如下： ?能被4整除?能被3整除?正整数?偶数????除以4余1整数?零整数? 整数?除以3余1 整数? ?奇数?负整数?除以3余2?除以4余2???除以4余3?3. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个 类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。 例如 正整数按下列分类是正确的 ?质数?正奇数?正整数?合数 正整数? ?正偶数?1?如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。 又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 所以三角形按边的大小分类 应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。 4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。 ?不等边三角形?相交例如三角形?平面内两条直线位置?等腰三角形??不相交 实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。 5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念 与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。 例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形 又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下： 三角形 代数式 等腰三角形 有理式 等边三角形 整式 单项 6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。 例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下: 直角三角形 偶数锐角 有理式 钝角三角三角 奇数 无理式 形形 7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。 例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数； 等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。 图示如下: 例题30 例1.把一元一次不等式ax>b (a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。 解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下： ?b?a?0时，b不论何值x?a??b?? ax>b的解集?a?0时，b不论何值x a???b?0时，解集是空集a?0且????b?0时，解集是全体实数?例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。 解：设底边长为xcm,则腰长是 15-xcm 215-x15-x－x=3 ∴x=3 ＝6 2215-x15-x 当腰比底小时是 x－=3 ∴x=7 =4 22 当腰比底大时是 答（略） 例3.化简① （(x?1)2?(x?1)2－2 ② 1x?y 解：①∵要使x?1有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1 （(x?1)2?(x?1)2－2 ＝x?1＋x+1－2＝x?1＋x－1 当－1≤x<1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0 当x≥1时， 原式＝x －1＋x－1＝2x－2 ②化去分母根式时，要乘以x?当x=y 时 y，当x=y 时，不能进行。故 1x?y1＝ 12x＝ x 2x当x≠y时 x?y＝ x?yx?y例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数 求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除 （1986年全国初中数学联赛题） 分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可， 含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。 解：∵ a3b－ab3=ab(a+b)(a-b) , b3c－bc3=bc(b+c)(b-c), ca3－ca3=ca(c+a)(c-a) ① 不论a,b,c三个数中有1个是偶数，或3个都是奇数（奇±奇＝偶），三个代数式所 表示的数都是偶数，即含有质因数2； ② ∵a,b,c除以5的余数只有0，1，2，3，4五种。 若有1个余数是0，则三个代数式所表示的数中必有1个含质数5； 若有2个余数相同，则它们的差的个位数字是0，也含有质因数5； 若既没有同余数又没有余数0，那么在4个余数1，2，3，4中任取3个，必有2个的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1个含质因数5。 综上所述 a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除。 练习30 1. 把下列概念分类（一种或几种） ① 实数 ②有理式 ③小于平角的角 ④平面内点与直线位置 2. 把一元一次方程ax=b (a,b是实数)的解分类。 3. 用二分法把下列概念分类（任举一例） ① 整数 ②方程 ③角 ④直角三角形 ⑤四边形 4. 指出下列概念分类的错误 ?平行?正数??平面内两直线的位置关系?相交 有理数?负数 ?垂直?0???一元一次? 一元方程?一元二次 ?一元三次? 5. 解方程和不等式 ①x?x?2＝4 ②x?2＞1－2x 6. 化简：①x?1?2x?1 ② 1a?1 7. 已知等腰三角形的一个外角等于150?，求各内角的度数。 8. 已知方程 1a??0 无解，求a的值。 x?2x?2 （1987年泉州市初二数学 双基赛题） 9. 第一组5人，第二组m人，从第一组调几人到第二组，使第二组人数等于第一组人数的2倍？ （1987年泉州市初二数学双基赛题） 10. x取什么值时，x2 –3x的值是正数？ ?3?an?n?a1a2a11. 有n个整数其积为n,其和是0。即? a?a?a???a?023n?1求证：n是4的倍数 12. 对任意两个整数a和b.，试证明：a+b,a-b,ab三个数中至少有1个能被3整除 13. 关于x的方程x＝ax+2有根且只有负根，则a的取值范围是＿（1988年泉州市初二数学双基赛题） 14 试证每个大于6的自然数n都可以表示为两个大于1且互质的自然数的 和 提示：按 奇数和偶数分类 （1995年全国初中数学联赛题） 初中数学竞赛辅导资料（31） 勾股定理 内容提要 1. 勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠?a2＋b2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a的2，3， 5……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数. 4. 勾股数的推算公式 ① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。 k2?1k2?1 ② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 22 ?K??K?③ 如果k是大于2的偶数，那么k, ???1,???1是一组勾股数。 ?2??2?④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 例题 例1.已知线段a a 225a 2a 3a 5a 求作线段5a a 分析一：5a＝5a2＝4a2?a2 2a ∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5a＝9a?4a2 ∴5a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在Rt△ABE中 设AB为x,则AE＝2x 根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2= ??2ED225 3AC1在Rt△ABC中，AC＝x2?12＝ 252?1＝21 33AB例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A DMC求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC 作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n 则c+n=b+m, c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) B(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB＝AC 例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC 求证：AC＞BD 证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F ACDE和BCDF都是平行四边形 ∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理 AH＝ Ac mbnCDDjCAD2-DH2，FH＝DF2-DH2 EAHFB∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH 222DE＝DH?EH，BD＝DH?BH ∴DE＞BD即AC＞BD 例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH ＝ 2 3AEDH 求：b?a的值 （2001年希望杯数学邀请赛，初二） 解：根据勾股定理 FB2 ; ① 31∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴ 2ab= ② 3 a2+b2=EF2＝SEFGH＝ GC① －②得 （a-b）2= 31 ∴b?a＝ 33练习31 1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数： ① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿ 2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： ① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿， ② ③82?152＝＿＿＿，④252-152＝＿＿＿ 3. △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝＿ ＿， CH＝＿＿，MH＝＿＿＿ 4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿ 5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD 求证：AE＝AF E6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB， AF且BD＝BF，CD＝CE 求证：AE＝AF A(5) E F M BC CDB D 7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法） 9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2 11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC ME⊥MF 求证：EF2＝BE2＋CF2 12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题） A F A (11) (12)E DF B EMCBC ?013.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100, 记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____ (1990年全国初中数学联赛题) 初中数学竞赛辅导资料（32） 中位线 内容提要 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度， 确定线段的和、差、倍关系。 3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理 及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 例题 例1. 已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是 BC的中点。求证：PM＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题） 证明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F A∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形 M∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF， NFE根据三角形中位线性质 PE＝ 11AC＝NF，PF＝AB＝ME 22BPCPE∥AC，PF∥AB ∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC 即∠PEM＝∠PFN ∴△PEM≌△PFN ∴PM＝PN 例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点。求MN的长。 A分析：N是BC的中点，若M是另一边中点， 12107则可运用中位线的性质求MN的长， M根据轴称性质作出△AMC的全等三角形即可。 C B辅助线是：延长CM交AB于E（证明略） ND例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点 求证：MN∥AB∥CD，MN＝ 2C1D 3EDCDC MMNNE MNABAB AEB 分析一：∵M是AC中点，构造一个三角形，使N为另一边中点，以便运用中位线的性质。 ∴连结CN并延长交AB于E（如图1）证△BNE≌△DNC可得N是CE的中点。（证明略） 分析二：图2与图1思路一样。 分析三：直接选择△ABC，取BC中点P连结MP和NP，证明M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。 例4. 如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和EF的中点 求证：MN∥AD 证明一：连结EC，取EC的中点P，连结PM、PN 1（AB－CD） 2MP∥AB，MP＝ 11AB，NP∥AC，NP＝AC 22EA12N34BDMCPF∵BE＝CF，∴MP＝NP 180?-?MPN∴∠3=∠4= 2∠MPN＋∠BAC＝180?（两边分平行的两个角相等或互补） 180?-?MPN∴∠1=∠2=， ∠2=∠3 2∴NP∥AC ∴MN∥AD 证明二：连结并延长EM到G，使MG＝ME连结CG，FG 则MN∥FG，△MCG≌△MBE ∴CG＝BE＝CF ∠B＝∠BCG ∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180 ?AENFC1?（180－∠FCG） 21?∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD 2∠CAD＝ BjDMG ∴ MN∥AD 例5. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线，EF⊥BC于F，GE⊥CE 交CB的延长线于G 1 求证：FD＝CG 4 证明要点是：延长GE交AC于H， 可证E是GH的中点 过点E作EM∥GC交HC于M， GEAHOBFDM21C1GC 211由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC 24则M是HC的中点，EM∥GC，EM＝ GCD 练习32 HF1.已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点 则①四边形EFGH是＿＿＿＿＿形 AB②当AC＝BD时，四边形EFGH是＿＿＿形 E③当AC⊥BD时，四边形EFGH是＿＿形 ④当AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿时，四边形EFGH是正方形形。 2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。 3.已知AD是锐角三角形ABC的高，E，F，G分别是边BC，CA，AB的中点，证明顺次连 结E，F，G，H 所成的四边形是等腰梯形。 ， 4. 已知：经过△ABC顶点A任作一直线a,过B，C两点作直线a的垂线段 BB和 ， CC，设M是BC的中点， ，， A求证：MB＝MC MD5.如图已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC 求证BC＝DM＋EN EN B C 6.如图已知：从平行四边形ABCD的各顶点向形外任一直线a作垂线段AE，BF，CG，DH。 求证AE＋CG＝BF＋DH 7.如图已知D是AB的中点，F是DE的中点， A求证BC＝2CE DC (7)o DAFB a GBFD1EHC E 8.平行四边形ABCD中，M，N分别是BC、CD的中点，求证AC平分MN 9.已知△ABC中，D是边BC上的任一点，M，N，P，Q分别是BC，AD，AC，MN的中点，求证直线PQ平分BD。 10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点O是AC和BD的交点，∠AOB＝60，P，Q，R分别是AO，BC，DO的中点，求证△PQR是等边三角形。 AD C N RCD(9)O P 608 OQ M N P A R BBSMDCAB? 11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中线，且AD，AE三等分∠BAC，求证：△ABC是Rt△。 12.已知：在锐角三角形ABC中，高AD和中线BE相交于O， ∠BOD＝60?，求证AD＝BE 13.如图 已知：四边形ABCD中，AD＝BC， 点E、F分别是AB、CD的中点，MN⊥EF 求证：∠DMN＝∠CNM DFCMNAB E 初中数学竞赛辅导资料（33） 同一法 内容提要 1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。 2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。 互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省 （真命题） 逆命题：中国的一个省是福建 （假命题） 但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京 （真命题） 逆命题：北京是中国的首都 （真命题） 因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。 3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： ① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） ② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 例题 例1. 求证三角形的三条中线相交于一点 已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线 求证：AD，BE，CF相交于同一点 分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线， ，， 直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，证明CF就是第三条中线 ，， （即证明AF＝FB） 证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180 ∴AD和BE相交，设交点为G ， 连结并延长CG交AB于F ， 连结DE交CF于M ∵DE∥AB ∴ F,F?AEGDC∴ MEMDCMBF?MD＝＝， 即＝ AF?BF?CF?AF?MEAF?MDMEMDMG＝＝， 即＝ ????AFGFBFBFMEBF?AF?，，， ＝， ∴AF＝BF，AF是BC边上的中线， AF?BF?， B∵BC边上的中线只有一条， ∴AF和AD是同一条中线 ∴AD，BE，CF相交于一点G。 例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2 求证：AD是△ABC的高 分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。 证明：作AE⊥BC交BC于E A 根据勾股定理 AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2） ＝BE2－EC2 ∵AB2－AC2＝BD2－DC2 B E D C ∴BD2－DC2 ＝BE2－EC2 （BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC） ∴BD－DC＝BE－EC ① BD＋DC＝BE＋EC ② ①＋②：2BD＝2BE 即点D和点E重合，即AD 是△ABC的高 例3如图已知：四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15? A BD ∠CBD＝45?，∠CDB＝30? 求证：△ABC是等边三角形 C E证明：在BC或延长线上取点E，使BE＝AB 连结AE，DE，则△ABE是等边三角形 AE＝AB＝AD，∠EAD＝150?－60?＝90?，∴∠ADE＝45? ∵∠ADC＝45，且DE，DC在DA的同一侧， ∴DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合 ∴△ABC是等边三角形 例4.求证：32?5?32?5＝1 3分析：直接证法，一般是把左边写成(32?5?32?5)再化简为1，但没有成功。 315451530?拟用同一法，可认为要证明的 原命题是：有两个数32?5，32?5，它们积是－1，则它们的和是1 那么逆命题是：若u+v=1,且uv=－1，则u=32?5,v=32?5 证明：设 u+v=1,且uv=－1，根据韦达定理的逆定理（初三教材） 得u,v是方程x2－x－1＝0 的两个根 x= 1?51?51?5,即u,v分别等于， 222而u3=（ 1?531?53）＝2＋5， v3=（）＝2－5 22 ∴u=32?5,v=32?5 即32?5?32?5＝1 例5.已知：ACD是圆的割线，点B在圆上，且AB2＝AC×AD 求证：AB是圆的切线 证明：过点B作圆的切线，交DC于A1， 则∠CBA1＝∠D l由已知AB2＝AC×AD，则 AA1CACAD＝，∠A＝∠A ABAC∴△ACB∽△ABD B∴∠CBA＝∠D， D∠CBA1＝∠CBA ∴BA和BA1重合，它们与DC的交点是同一个点 即AB是圆的切线。 例6.以△ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，F，那么过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。 分析：用同一法证明，作出△ABC的内切圆，再证明三个切点和 D，E，F重合 ，，， 证明：作△ABC的内切圆和AB，BC，CA分别切于D，E，F 根据 切线长定理，得 AD＝AF＝ ， ， c?b?aa?c?ba?b?c，，，， ，BE＝BD＝，CF＝CE＝ 222设⊙A,⊙B，⊙C半径长分别为x,y,z ?x?y?cc?b?aa?c?ba?b?c?,y=,z= ?y?z?a,解得，x= 222?z?x?b?∴AD＝AD，BE＝BE，CF＝CF ，，， 即D与D， E与E ， F与F重合。 A ∴△ABC的内切圆和各边切于D，E，F 即过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。 D F 练习33 CEB1. 用同一法证明： ① 三角形的中位线平行于第三边 ② 梯形中位线平行于两底 2. 已知E是正方形ABCD内的一点，∠EAB＝∠EBA＝15 求证△ECD是等边三角形 3. 已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，在AC上取点D，使AD＝BC 求证BD是∠ABC的平分线 4. 如果梯形的一条腰等于两底和，那么夹这条腰的两个角的平分线的交点，必是另一腰中 ??， ， ， 点 5. △ABC中，∠ C＝Rt∠，AC＝BC，点D在AC上，且CD＝AB－BC 求证BD平分∠ABC 6. 正方形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，DE⊥AM于E，求证点N在DE的 延长线上 7. 已知：四边形ABCD中，E，F和GH分别三等分AB和CD， M和N分别是BC，AD中点， N D 求证： A ① MN平分EH和FG E H ② MN被EH，FG三等分 F G B M C 8.已知：矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在CD上，且∠CBE＝15? 求证：AE＝AB 9.已知：AD是四边形ABCD外接圆O的直径，∠ABC＝120?∠ACB＝45? 点P在CB的延长线上，且PB＝2BC 求证：PA是⊙O的切线 10.已知：H是△ABC的垂心（三条高的交点），过H，B，C三点作⊙O，延长△ABC的中 线AM交⊙O于D 求证：AM＝MD Aj H A OO D B M C B C D P B C
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