定积分计算公式和性质

定积分计算公式和性质

Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

第二节 定积分计算公式和性质

一、变上限函数

设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间

上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限x在区

x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在数

，我们把

称为函数

在区间

间上任意变动，则对于每一个取定的

上定义了一个以x为自变量的函

上变上限函数

记为图 5-10

从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边

梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

我们知道：如果物体以速度

作直线运动，那么在时间区间

上所经过

的路程s为图 5-11

，那么物体从t=a到t=b

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：

即

是

一个原函数，因此，为了求出定积

分，应先求出被积函数即可。

的原函数，再求在区间上的增量

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分设函数

，则

在闭区间

上连续，

是

的一般方法：

的一个原函数，即

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

例1 计算

因为是的一个原函数所以

例

图形面积A(5-12)

解 这个图形的面积为

2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成

图 5-12

二、定积分的性质

设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个

简单性质：

性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即

(A为常数)

性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即

这个性质对有限个函数代数和也成立。

性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即

以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。

性质4 如果将区间

分成两个子区间

及

那么有

这个于区间分成有限个的情形也成立。

下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。 当a

与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积

:

图 5-13a

图 5-13b

因

为

即性质4成立。 当a

外，由图5-13b可知，

显然，性质4也成立。 总之，不论c点在

内还是

外，性质4总是成立的。

例3 求

例 4 求

解 =

所以