解：（1）依题意得又
∴椭圆的方程为（2）设直线的方程为
，
，
由∴由题设知∴∵
，∴
得
.
，∴.
，
，
，
此时
则
故直线的斜率为【点睛】
.
本题主要考查椭圆标准方程的计算和简单几何性质，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
20．某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：
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（1）填写差异？ 合计
列联表，并根据列联表判断有多大的把握认为这两个分厂的产品质量有
优质品 非优质品 合计 （2）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；
（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望. 附：
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)(i);(Ⅱ)答案见解析.
【解析】分析：第一问首先利用众数和中位数定义，得到直方图中最高的那条对应的组中值就是众数，利用中位数的两边对应的条的面积是相等的，求得中位数；结合题中的条件，填完列联表，之后应用公式求得
的观测值，与表中的值相比较，得到是否有把
0.100 2.706 ，0.050 3.841 . 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 第 14 页 共 18 页
握认为其有没有关系；第三问利用概率公式求得结果，分析变量的取值以及对应的概率列出分布列，应用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果. 详解：（1）分厂的质量指标值的众数的估计值为设分厂的质量指标值的中位数的估计值为，则
，解得
（2） 合计
由列联表可知
的观测值为：
所以有
的把握认为两个分厂的产品质量有差异．
，
列联表：
优质品 5 20 25 非优质品 95 80 175 合计 100 100 200 ．
，
（3）（i）依题意，厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，
设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10
件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件，则
所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是．
，
（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即则
．
，
点睛：该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，需要耐心读题，因为该题的题干太长，再者要求对基础知识掌握非常的牢固，对相关的定义以及公式都比较熟悉，虽然题干比较长，但是题并不难，所以耐心就能做好. 21．设函数（1）讨论函数
，
的导函数为
.
的单调区间；
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（2）对于曲线在唯一的，使直线【答案】(1)a＞0时， 单调递减. (2)见证明
上的不同两点的斜率等于
.
，，，求证：在内存
上单调递增，在上单调递减.时在（0，+∞）
【解析】（1）对a分两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）即
只需证明
一．再构造函数证明得解. 【详解】 解：（1）又当当
时，函数时，
上单调递增，在，
，化简得
的定义域为
，
在区间
上单调递减.
上单调递减；
，且唯
该函数在（2）∵∴即
因此，要证明原命题成立，只需证明
，且唯一．
设则再设∴∴又同理
在，∴ ③
，
是增函数，
②
，， ，
， ①
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