2.明确定理,推理证明
操作、思考、交流、归纳后,教师在学生口答的基础上,引导学生猜想矩形的性质并板书:
矩形的性质1 矩形的四个角都是直角. 矩形的性质2 矩形的对角线相等.
【思考】 怎样证明你的猜想?请同学们自己完成.
已知:如图所示,四边形ABCD是矩形,∠ABC＝90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证:(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°; (2)AC＝BD.
(多媒体课件展示两个定理的已知、求证,请两位同学分别板演证明过程) 3.动手操作,完善性质 问题1
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,转一转,观察并思考以下问题: (1)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么? (2)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
结论:矩形是中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.
问题2
请你总结一下矩形有哪些性质?
学生归纳概括矩形的性质,教师提示可以从四个方面来说:
从边来说,矩形的对边平行且相等; 从角来说,矩形的四个角都是直角;
从对角线来说,矩形的对角线相等且互相平分;
从对称性来说,矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
[处理方式] 让学生分组探索,教师可引导学生根据研究平行四边形获得的经验,分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性,学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质.性质定理的证明让学生上台板演,既规范了证明的书写格式,也体现了数学的严谨性.
[设计意图] 学生通过类比平行四边形的性质及观察从平行四边形到矩形的变化过程,从边、角、对角线三方面不难发现矩形的性质.学生自己讨论得出的结论会更让他们乐于接受,而方法也在此过程中渗透给了学生. 思路二
(1)想一想:(展示问题,引导学生讨论、解决)
①矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能举一些这样的性质吗?
②矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴? ③你认为矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流. 结论:矩形是轴对称图形,它有两条对称轴. (2)问题:矩形的边具有怎样的性质? (学生思考、回答)
结论:对边平行且相等.(具有平行四边形的边所具有的边的性质) (3)问题:矩形的角除了“有一个内角是直角”外,还具有哪些一般平行四边形不具备的性质?
(学生思考、回答)
结论:矩形的四个角都是直角.
(4)让学生进行如下操作后,思考问题:(教具演示)矩形的对角线有什么性质?
在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别固定在相对的两个顶点上,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.
(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?
(2)当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时两条对角线的长度有什么关系?
(小组操作,思考、交流、归纳)
当∠α是锐角或钝角时,两条对角线的长度不相等.
当∠α是直角时,平行四边形变为矩形,这时两条对角线的长度相等. 结论:矩形的两条对角线相等. 三、直角三角形的性质定理
1.议一议:观察右图中的矩形ABCD,你能得出哪些结论?图中存在哪些特殊的三角形?
矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是RtΔABC中一条怎样的特殊线段?它与AC边的长度有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?
生总结结论,师板书:
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.做一做:你能借助矩形加以证明吗?
3.练一练:在ΔABC中,∠ABC＝90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD＝3 cm,则AC＝ cm;
(2)若∠C＝30°,AB＝5 cm,则AC＝ cm,BD＝ cm. [处理方式] 在议一议中,学生小组讨论,容易得出:图中共有四个直角三角形,四个等腰三角形,并且有OA＝OB＝OC＝OD,从而得出结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.然后在做一做中由教师引导,寻找定理证明的思路,即通过构造矩形,把三角形问题转化为矩形问题.由一生口答,教师板书证明过程,进一步规范证明的书写格式.练一练比较简单,由学生口答.
[设计意图] 先从矩形的对角线的相关性质推出直角三角形的性质,达到“学数学,用数学”的目的.再通过习题,让学生掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,达到学以致用的目的,培养了学生的应用意识.
[知识拓展] 矩形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的所有性质外,还具有以下性质:(1)矩形的四个角都是直角;(2)矩形的对角线相等;(3)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
(教材例1)如图所示,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD＝120°,AB＝2.5,求这个矩形对角线的长.
解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC＝BD(矩形的对角线相等),
OA＝OC＝∴OA＝OD.
AC,OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分),
∵∠AOD＝120°,
∴∠ODA＝∠OAD＝(180°-120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角), ∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
[设计意图] 这个例题主要目的是应用矩形的性质来解决问题.在学过矩形的性质后,如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题是关键.
名称 特征 定义 性质 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 边 对边平行且相等 矩形
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