两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.
故填2.
第
课时
1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.
启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.
【重点】 探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.
【难点】 明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.
【教师准备】 木条和橡皮筋
【学生准备】 复习上课时的相关知识.
导入一:
人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.
那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢? 导入二:
什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法? 教师提示:判定方法应该从三个方面分析:
边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 那么,菱形的判定有什么方法呢?
[设计意图] 通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.
一、由菱形的定义判定
[过渡语] 接下来我们研究怎样判断一个四边形是菱形. 【学生活动】 明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【思考】 除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗? 二、菱形的判定(1)
思路一
已知:在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证?ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC. ∵AC⊥BD,
∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线. ∴BA＝BC.
∴?ABCD是菱形(菱形的定义).
【思考】 从上述证明过程中,你得出什么结论? 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 思路二
【学生活动】 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.
(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗? 猜想:四边形的对角线互相平分.
(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?
猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形. (3)你能证明你的猜想吗?
猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.
已知:在?ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证?ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分). 又∵AC⊥BD,
∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线, ∴AB＝BC,
∴?ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 三、菱形的判定(2)
[过渡语] 菱形的判定还有其他的方法吗? 思路一
学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?
请你画一画.
通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形. 证明上述结论.
[设计意图] 采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.
思路二 问题
我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.
【学生活动】 (1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.
原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定. (2)你能得出什么结论?
学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.
[设计意图] 通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.
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