猜想:四条边相等的四边形是菱形. 如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA. 求证四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB＝CD,BC＝AD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 又∵AB＝BC,
∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). [设计意图] 由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.
[知识拓展] 四条边相等的四边形是菱形.
在?ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝求证?ABCD是菱形.
,OA＝2,OB＝1.
证明:在ΔAOB中,∵AB＝∴AB2＝AO2＋OB2.
,OA＝2,OB＝1,
∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角. ∴AC⊥BD.
∴?ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
[知识拓展] (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.
(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.
1.下列命题正确的是 ( ) A.对角线互相平分的四边形是菱形 B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 答案:D
2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ( ) A.等腰梯形
B.正方形
C.长方形 D.菱形 答案:D
3.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形AEDF是菱形.
解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EF⊥AD,利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.
证明:∵点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点, ∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形. 连接EF,如图所示,
∵ 点E,F分别是AB和AC的中点, ∴EF∥BC.
又∵AD⊥BC,∴AD⊥EF, ∴平行四边形AEDF是菱形.
第2课时
1.根据菱形的定义进行判定
2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.定理:四条边相等的四边形是菱形 例1 例2
一、教材作业 【必做题】
教材第7页随堂练习. 【选做题】
教材第7页习题1.2的1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.四条边都相等的四边形是菱形 C.一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形
2.已知?ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得?ABCD是菱形的条件有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,如果要使?ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 .
4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满足条件: 时,四边形EFGH是菱形. 【能力提升】
5.如图所示,在ΔABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.求证四边形DECF是菱形.
6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形. 【拓展探究】
7.如图所示,分别以ΔABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当ΔABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形?
(3)当ΔABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在? 【答案与解析】 1.B 2.C
3.AB＝AD(答案不唯一) 4.AB＝CD
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