4.解:设CA＝x,BD＝2x,则OA＝AC＝x,OB＝x,所以＋x2＝9,
即x2＋x2＝9,x2＝,所以S菱形ABCD＝x·2x＝x2＝.
5.A (解析:首先连接BD,易证得ΔADE≌ΔBDF,然后可证得DE＝DF,AE＝BF,即可得ΔDEF是等边三角形,然后可证得∠ADE＝∠BEF.) 6.解:四边形AEDF是菱形.理由如下. ∵DE∥AC,∴∠ADE＝∠DAF.
∵AD是ΔABC的角平分线,∴∠DAE＝∠DAF,∴∠ADE＝∠DAE,∴AE＝ED. 又∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形, ∴平行四边形AEDF是菱形.
7.解析:(1)设经过x s后,四边形AQCP是菱形,根据菱形的四条边相等列方程即可求得所需的时间.(2)根据(1)可求得菱形的边长,从而求得其周长及面积. 解:四边形AQCP可能是菱形. 设经过x s后,四边形AQCP是菱形, 由题意,得42＋x2＝(8-x)2,解得x＝3, 即经过3 s后,四边形AQCP是菱形. 此时菱形的边长为5,
∴菱形AQCP的周长＝5×4＝20(cm), 菱形AQCP的面积＝5×4＝20(cm2).
本课时的重点是在计算三角形面积和平行四边形面积的基础上计算菱形的面积,充分利用知识的迁移,通过类比,顺利地实现了本课时的教学目标.
在处理菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半的时候,应该提醒学生容易出错的地方,特别是这种计算方法只适合菱形,而不适合一般的平行四边形.
在处理本课时教材的例题的时候,可以让学生自己去交流和证明,并鼓励学生用不同的思路去证明同一结论.
随堂练习(教材第9页)
1.提示:(1)菱形的每一个内角的度数分别为60°,120°,60°,120°. (2)另
一条对角线的长为2＝10.
2.证明:∵DE是BC的垂直平分线,∴DE⊥BC,BD＝DC,BE＝CE,又∵∠ACB＝90°,即AC⊥BC,∴DE∥AC,又∵D为BC中点,∴E为AB边的中点,∴CE＝AE＝BE,∵∠BAC＝60°,∴ΔACE是正三角形,∴CE＝AC.在ΔAEF中,∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60°,而AF＝CE,又CE＝AE,∴AE＝AF,∴ΔAEF也为正三角形,∴AF＝EF,∴CE＝AC＝AF＝EF,∴四边形ACEF为菱形. 习题1.3(教材第9页)
1.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝BC,AD＝CD,∠A＝∠C,∵BE＝BF,∴AE＝CF,∴ΔADE≌ΔCDF. (2)由(1)知ΔADE≌ΔCDF,∴DE＝DF,∴∠DEF＝∠DFE.
2.证明:如图所示,在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴S菱形ABCD＝SΔABC＋SΔADC＝AC·OB
＋AC
·OD＝AC(OB＋OD)＝AC·BD.
3.解:∵四边形ABCD是菱形,AC＝16,BD＝12,∴AC⊥BD,AO＝OC＝AC＝
8,BO＝OD＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理得AB＝＝10,∵S
菱形ABCD
＝×AC×BD＝AB×DH,∴×16×12＝10DH,∴DH＝9.6.
4.证明:∵四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,DC,AC,BD的中点,∴FG＝
AD,HE＝AD,FH＝BC,GE＝BC.∵AD＝BC,∴FG＝FH＝HE＝
EG.∴四边形EGFH是菱形.
如果仅知道菱形两条对角线的长,你能求出菱形的面积吗? 画图,想想菱形的对角线有什么特殊的地方呢?
不难发现,菱形的对角线将菱形分成了四个直角三角形(如图(1)所示),这四个直角三角形还是全等的呢!(你能证明吗?)
于是菱形的面积就等于这四个直角三角形的面积之和,即S菱形ABCD＝SΔADO＋S
ΔABO
＋SΔCDO＋SΔBCO
＝4SΔADO＝4＝4·AC··BD＝AC·BD.
原来菱形的面积还可以由对角线长求出呀!
回顾一下解决问题的过程.我们解决问题的切入点是菱形的对角线互相垂直平分,如果将条件改为“对角线互相垂直”,此时四边形的面积还能利用对角线长的乘积的一半表示吗?这时和菱形情况类似,如图(2)所示四边形也被对角线分成四个直角三角形,那么S四边形ABCD＝SΔADO＋SΔABO＋SΔCDO＋SΔBCO＝
×AO×OD＋AO×BO＋OC×OD＋BO×OC＝AO×(OD
＋OB)＋
OC×(OD＋OB)＝×(AO＋OC)×BD＝AC×BD.
2 矩形的性质与判定
1.掌握矩形的定义,理解矩形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握矩形的性质及判定定理,会用矩形的性质及判定定理进行推导证明.
3.会初步运用矩形的定义、性质、判定来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力.
1.经历探索矩形的概念、性质、判定的过程,发展学生合情推理的意识.
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