（3）∵A（﹣1，0）、C（0，﹣2）、B(4,0), ∴AB2=25，AC2=5，BC2=20， ∴AB2=AC2+BC2
∴△ABC是直角三角形， 当△BEP与△ABC相似，
则∠EPB＝∠CAB或∠EPB＝∠ABC，
∴tan∠EPB＝tan∠CAB，或tan∠EPB＝tan∠ABC， ①当tan∠EPB＝tan∠CAB时， 即：
4?m?2，
?123???m?m?2?2?2?解得：m＝0或4（舍去）， ②当tan∠EPB＝tan∠ABC， 即：
4?m1?，
3?1?2??m2?m?2?2?2?解得：m＝3或4（舍去）， 综上所述，m的值为0或3．
7.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线y＝﹣x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.
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【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知：A（﹣3，0），C（0，2），EC∥x轴 ∴点E的纵坐标为2， ∵点E在直线y＝﹣x上， ∴点E（﹣2，2），
∵将A（﹣3，0）、E（﹣2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：
2?a????9a?3b?2?0?3
，解得：???4a?2b?2?2?b??4?3?24抛物线的解析式为：y??x2?x?2；
33（2）∵OC=CE=2， ∴∠ECO=∠CEO=45°， ∵PG⊥x轴，PH⊥EO， ∴∠PGH=45°，
即△PGH为等腰直角三角形，
24P(m，?m2?m?2)，G（m，﹣m），
332PG 2224=（?m2?m?2+m） 233∴l=2?1?492m?＝? ???3?4?4822<0， 34921∴当m=－时，l取最大值，最大值为：.
484∵?8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
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动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，∴A（5，0），B（0，10）， 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)， ∴c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，
∴a=16，b=?56，c=0
抛物线解析式为y=156x2?6x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形． （2）
由（1）知BC=10，AC=5，OA=5， OP=2t，BQ=t，CQ=10﹣t， ∵AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，PA=QA，
28
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ， ∴OP=CQ， 即2t=10﹣t， 解得：t=
10， 310s时，PA=QA. 3即当运动时间为
9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0， y＝5，当y＝0， x＝5， 点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），
将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5 即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.
（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时， x＝﹣1或5， ∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2， ∴∠OCB＝45°；
过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，
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∵∠OCB＝45°，
∴CD″∥x轴，点D″（2，5），
连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小， 设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n
将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3， 直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，
3∴N(，0).
4817联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=，y=，
55817即M(，).
5510.（2019·郑州模拟）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，OB=OC．点 D 在函数图象上，CD∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求b，c的值．
（2）如图 1，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F′恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标．
（3）如图 2，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点M，与抛物线交于点 N．试问：抛物线上是否存在点 Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
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