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演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律，4R?12gt 2x?v1t，根据题给条件，女演员刚好回A点，由机械能守恒定律，m2gR?已知m1＝2m2，由以上各式可得x＝8R
12，m2v222006年全国理综（天津卷）
25．（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观
测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。
（1）可见得A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质
点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2。试求m的（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量mI的两倍，它将有
可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2.7m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6mI，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
（G＝6.67×10
－11
/
/
N·m/kg2，mI＝2.0×1030kg）
解析（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速相同，其为ω。由牛顿运动运动定律，有
FA＝m1ω2r1 FB＝m2ω2r2 FA＝FB
设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式得 r＝
m1m2r1 ① m2页脚内容
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由万有引力定律，有
FmA＝G
1m2r2 将①代入得
Fm3A＝G1m2(m22
1?m2)r令
FmA＝G1m/r2
1 比较可得
m/=m32(m?m 12)（2）由牛顿第二定律，有
m1m/v2Gr2?m1 1r1又可见星A的轨道半径
rvT1＝
2? 由②③④式可得
m32v3T(m2? 1?m2)2?G（3）将m1＝6mI代入⑤式，得
m32v3(6m2?TI?m2)2?G代入数据得
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②
③
④ ⑤ 页眉内容
3m2?3.5mI ⑥ 2(6mI?m2)设m2＝nmI，（n＞0），将其代入⑥式，得
3m2n?mI?3.5mI ⑦
(6mI?m2)2(6?1)2n3m2 可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得 2(6mI?m2)n6(?1)2nmI?0.125mI?3.5mI ⑧
若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2mI，由此得出结论：
暗星B有可能是黑洞。
2006年全国理综（重庆卷）
25.(20分)（请在答题卡上作答）
如题25图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为机械能损失。重力加速度为g。试求： （1）待定系数β;
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力; （3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
1R,碰撞中无4解析：（1）由mgR＝
β＝3 页脚内容
mgR?mgR+得 44题25图 页眉内容
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则
12mgR mv1?421?mgR2 ?mv2?24 设向右为正、向左为负，解得 v1＝1gR，方向向左 21gR，方向向右 2v2＝ 设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向
下为负。则
2v2N－βmg＝?m
R N /＝－N＝－4.5mg，方向竖直向下
（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，则
??mv1??mv2?mV1??mV2? ?1122mgR?mV1??mV2??22解得：V1＝－2gR，V2＝0
（另一组：V1＝－v1，V2＝－v2，不合题意，舍去） 由此可得：
当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同
当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同
2008年（四川卷）
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