2021届新课改高三数学一轮复习：三角恒等变换(1)(解析版)

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第23讲：三角恒等变换（1）

一、课程标准

1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．

2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)； cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ，简记作C(α±β)； tanα±tanβtan(α±β)＝，简记作T(α±β)．

1?tanα·tanβ2. 二倍角公式 sin2α＝2sinα·cosα； 2tanαtan2α＝；

1－tan2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α． 3. 辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝

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ab

，sinφ＝，tana2＋b2a2＋b2

φ＝ba

.

4. 公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)； sinα±cosα＝2sin(α±π4)；

sinα·cosα＝12sin2α；

1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2； 1－sin2α＝(sinα－cosα)2； sin2α＝1－cos2α2；

cos2α＝1＋cos2α2；

tan2α＝1－cos2α1＋cos2α(降幂公式)；

1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)．

三、自主热身、归纳总结

1、知cos α＝－4

5，α∈??π，3ππ2??，则sin??α＋4??等于( ) A.－

210

B.210

C.－7210

【答案】 C

【解析】 ∵α∈?3π4?π，2??，且cos α＝－5，∴sin α＝－35

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D.7210

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π432272α＋?＝－×＋?－?×＝－∴sin?. ?4?52?5?210π

α＋?＝2，则tan α＝( ) 2、已知tan??4?1

A. 3

【答案】 A

π1＋tan α1α＋?＝【解析】 tan?＝2，解得tan α＝. ?4?1－tan α3

1

B.－

3

4C. 3

4D.－ 3

π2

3、 已知sin2α＝，则cos2?α＋?等于(A )

34??

1112

A. B. C. D. 6323

【答案】A

1＋cos2?α＋?1＋cos?2α＋?4?2?1－sin2α??π【解析】 ∵cos2?α＋?＝＝＝，

2224??2

1－31π?1－sin2α?2

∴cosα＋＝＝＝.故选A.

2264??

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4、(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是( )

2

π

A．f(x)的最小正周期T＝ B．f(x)是偶函数

2

1

C．f(x)的最大值为 D．f(x)的最小正周期T＝π

4【答案】ABC

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ππ